Mathematics | Higher education » Bécsi Ilona - A pi története, diplomamunka

http://www.doksihu A π története Bécsi Ilona Szakdolgozat Matematikai elemz® szakirány Témavezet®: Besenyei Ádám, egyetemi tanársegéd Alkalmazott Analízis Tanszék és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2010 http://www.doksihu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2. A 3 π története 5 2.1 Egyiptom . 5 2.2 Arkhimédész . 6 2.3 Közel-Kelet, Iszlám országok . 10 2.4 Európa . 12 2.5 Napjainkban . 18 3. A π néhány el®állítása 21 3.1 Leibniz-sor . 21 3.2 Viète-féle végtelen szorzat . 22 3.3 Euler-sor . 25 3.4 Wallis-formula . 29 4. A π irracionalitása 31 5. Összefoglalás 33 2 http://www.doksihu 1. fejezet Bevezetés

Napjainkban rengeteg kör alakú tárgy vesz körül bennünket. Bizonyára már mindenkiben felmerült a kérdés, hogy vajon mennyi is annak a bizonyos körnek a kerülete, illetve területe. Honnan jött, hogy a π értékével szá- moljunk? Mennyi a π pontos értéke? Ezek a kérdések nemcsak egy matematikust foglalkoztatnak, hanem akár egy hétköznapi embert is, hiszen a mindennapi életben rendszeresen találkozunk kör alakú tárgyakkal, mint például a tányér és a pohár, az utcán a közlekedési jelz®táblák egyrésze és még lehetne sorolni. Nemrégiben napvilágra kerültek a gravitáció elméletével kapcsolatban új felfedezések, melyben a π is érintett Felbukkan az elhalálozási statisztikákból ismert Gauss-féle normáleloszlásban, és természetesen a matematikában a terület, kerület, illetve térfogatszámításoknál is Középiskolai matematika tanulmányainkból a jól ismert képlet a kör kerületére és területére: K = 2rπ = dπ,

és T = r2 π, ahol π a kör kerülete és átmér®je közötti arányt fejezi ki. A görög π bet¶ a perimeter (kerület) szót rövidíti. Ludolph-féle számnak is nevezik, ugyanis Ludolph van Ceulen volt az, aki minél több tizedesjegyét próbálta meghatározni. A németek a π -t még ma is Ludolph-féle számnak nevezik A 18 században 3 http://www.doksihu Euler ezt az értéket p-vel vagy c-vel jelölte. William Jones angol matematikus használta el®ször a görög π bet¶t A matematika új bemutatkozása cím¶ könyvében. Ezt követ®en mindenhol π -vel jelölik ezt a számot, amelyet Jones valószín¶leg az angol periphery (kerület) szóból származtatott. Értéke ötven tizedesjegyig: 3, 14159265358979323846264338327950288419716939937510. Be fogjuk látni, hogy a π irracionális szám, tizedestört alakja végtelen és 12 periodikusan nem ismétl®dik. Mára közel 2,7 billió (2, 7 · 10 ) jegyét számították ki modern számítástechnikai

módszerekkel, de a számjegyek között hasonlóságot nem fedeztek fel. A dolgozat betekintést nyújt a π rejtelmeibe, mind történelmi, mind pedig matematikai szempontból. A következ® fejezetben a π történetét az ókortól egészen napjainkig végigtekintjük, Európától Amerikáig. Majd megismerkedhetünk olyan híres matematikusok formuláival, mint Euler, Leibniz, Wallis, Viète, amelyek segítségével meg tudjuk határozni a π -t néhány pontos tizedesjegyig. Végül belátjuk a π irracionalitását 4 http://www.doksihu 2. fejezet A π története 2.1 Egyiptom A története 10000 esztend®vel korábbra nyúlik vissza, eredetér®l pontos adatokkal nem rendelkezünk, de annyi megállapítható, hogy a π értékre egy id® után bizonyosan szükség lehetett, így az állandót 3-nak tekintették. Az ókori Egyiptomban is ezt az állandót használták egy ideig, azonban kés®bb rájöttek, hogy ez az arány nem pontosan 3, hanem valamivel nagyobb szám.

Így felmerült a kör terület kiszámításának problémája. Elméleti geometriai gondolatmenetekkel a papiruszokban nem találkozunk A feladatok közt szerepel egyenes vonalú síkidomok kerületének kiszámítása, hasáb, henger, gúla, és csonka gúla térfogatának meghatározása. Az ie 1660-ból való egyiptomi Rhind-papiruszon található egy képlet a kör területének kiszámítására, amelyet Ahmész királyi írnok írt. A tekercset 1858-ban Henry Rhind skót régiségkeresked® vásárolta meg, a papirusz Rhind halála után a British Museumba került. A hiányzó része 50 év múlva került el® a New York-i Történelmi Társulat gy¶jteményéb®l. Ebben kör területét úgy határozták meg, hogy az átmér® 8 -ét négyzetre emelték. Ez mai jelöléssel: 9  T ≈ 8 d 9 5 2 . http://www.doksihu A π értékére tehát az egyiptomi számításból következik, hogy  2 8 1 π≈4 = 3 + ≈ 3, 16, 9 6 ami már egész jó közelítés. 2.2

Arkhimédész Az ókori görögöknél i.e 8-7 században fellendült a társadalmi élet és kultúra. Ez a korszak jelent®s szerepet játszik a tudomány fejl®désében A matematikában ekkor jelent meg a szám önmagában. Felmerült a görögökben egy fontos kérdés, hogy miért is kell így csinálni?. A görögök munkái közül az utókor számára nem sok maradt fenn. A görög matematika geometriai jelleg¶ volt. Megjelentek az arányok, felmerült az összemérhetetlen mennyiségek fogalma is, ami irracionális arányt jelentett. Az ókori görögök felismerték, hogy a kör területe egy olyan háromszög területével egyezik meg, amelynek alapja a kör kerülete, magassága a kör sugara. Meg kell említenünk a szicíliai Szürakúzai Arkhimédész (i.e 287-212) munkásságát, aki rokoni kapcsolatban állt az uralkodóval, így annak udvarában mindent megkapott, hogy életét zikai, matematikai kutatásainak szentelhesse. Az akkori kultúrközpontban,

Alexandriában is megfordult, ahol barátokat szerzett magának. Arkhimédész kiemelked® m¶ve a Módszer nev¶ levél, melyre csak 1906ban bukkant rá Heiberg dán nyelvész Konstantinápolyban, a Jeruzsálemi Szent Sír kolostor könyvtárában. Ebben a m¶vében a szerz® matematikai felfedezéseit valamilyen mechanikai kisérlet alapján sejtette meg, és a megsejtett törvényt a matematika teljes szigorával igazolta. A gömbr®l és a hengerr®l szóló értekezésében az általa megfogalmazott axiómákra támaszkodva határozta meg az egyenes henger, az egyenes kör kúp, valamint a gömb felszínét és térfogatát. A számításaiban kétoldali közelítést használt, és megállapította, hogy az egyenl® oldalú henger, a beleírható gömb és az egyenes körkúp térfogata úgy aránylanak egymáshoz, mint 6 http://www.doksihu 3:2:1. Ezt az eredményt fejezte ki a sírkövére vésett ábra is A körmérésr®l cím¶ írásában a körbe írt szabályos

sokszögek segítségével közelítette meg a kör kerületét és területét. Ebben a m¶vében egy igen szép gondolatmenet található a π közelít® értékének a meghatározására. Célját egy 96 oldalú szabályos sokszög kerületének kiszámolásával érte el. 2.1 ábra Az 2.1 ábrán látható: r sugarú k körbe írt, szabályos n oldalú sokszög egy középponti háromszöge, DCO, és a kör köré rajzolt szabályos n-szög egy középponti háromszöge, ABO . A beírt sokszög egy oldalát an -nel, a körülírt sokszög egy oldalát pedig An -nel jelöljük. Az ábrán látható még a beírt és körülírt szabályos 2n oldalú sokszög egy részlete is. Ekkor a következ®ket mondhatjuk: DC = an ; AB = An ; DE = EC = a2n ; GF = F K = A2n . A BCF és BEO háromszögek hasonlósága miatt A2n An − A2n : = r : OB, 2 2 ezért A2n : (An − A2n ) = r : OB. 7 (2.1) http://www.doksihu A BEO és CHO hasonlósága miatt a n An : = r : OB, 2 2 azaz an

: An = r : OB. (2.2) A (2.1) és (22) aránypárból következ®en A2n : (An − A2n ) = an : An , vagyis A2n an = , An − A2n An ahonnan A2n = an A n . an + A n (2.3) A CED és CF E háromszögek hasonlósága miatt an : a2n = a2n : azaz A2n , 2 2 · a2n an = , a2n A2n ahonnan r a2n = an · A2n . 2 (2.4) A sokszögek kerületei tehát kn = nan ; Kn = nAn ; k2n = 2na2n ; K2n = 2nA2n . A (2.3) és (24) összefüggések gyelembevételével K2n = 2nA2n = 2nan nAn 2kn Kn = , nan + nAn kn + Kn és r k2n = 2n · an · A2n = 2 r p 4n2 an A2n p = 2nan nA2n = kn K2n . 2 8 http://www.doksihu A kerületekb®l és az oldalszámok további duplázásával keletkezett sokszögek kerületeib®l egy sorozat állítható el®: Kn ; kn ; K2n ; k2n ; K4n ; k4n ; K8n ; k8n ; . Ezt a sorozatot Arkhimédészi sorozatnak nevezzük. Képzési szabálya a következ®képpen alakul: a harmadik tagjától kezdve minden páratlan sorszámú tag közvetlen el®tte álló

két tag harmonikus közepe, és minden páros számú tag a közvetlen el®z® kett® mértani középarányosa. Arkhimédész az r sugarú körbe írható szabályos hatszögb®l indult ki. Ekkor √ K6 = 4r 3; k6 = 6r. Vegyük most az r = 1 esetet, ekkor √ K6 = 4 3; k6 = 6. A hatszögekhez tartozó kör kerületére érvényes, hogy √ 4 3 > 2π > 6, másképp √ 2 3 > π > 3. Arkhimédész a K6 -tal és a k6 -tal kezd®d® tagokból kiszámította a sorozat tagjait egészen a K96 és k96 kerületekig. A π értékét ezátal két korlát közé szorította: K96 k96 >π> . 2 2 √ Számítás közben a kerületekben szerepl® 3 értékét az 1351 √ 265 > 3> 780 153 egyenl®tlenséggel becsülte, de nem tudjuk ez honnan származik, bizonyára olyan m¶véb®l, amely még számunkra nem ismert. Végül a következ® becsléshez jutott: 10 1 <π<3 . 71 7 Ez tizedestört alakban 3, 140845 < π < 3, 1428571. 3 9 http://www.doksihu

2.3 Közel-Kelet, Iszlám országok Kínában a π = 3 értéket sokszor használták még akkor is, amikor már a pontos közelítését is ismerték, például a földmér®k π = 3 értékkel szá- moltak. Az ie 2 században készült összefoglaló munkában (Matematika kilenc könyvben) szerepel az a becslés, hogy a kör területe köré írt négyzetének 3 -e, ebb®l származik a π ≈ 3 érték. A gömb térfogatát a V 4 27 számolták, ami a π ≈ ≈ 3, 375 közelítésnek felel meg. 8 9 3 = 16 d képlettel Liu Ci (i.e50- isz23) csillagász 3,15-del számolt Csang Heng csillagász a π helyett √ 10-et vagy 92 ≈ 3, 1724 vett. Vang Fan a π -t 142 ≈ 3, 1556-nek 29 45 számította. A Han dinasztia elrendelte a mértékegységek egységesítését az egész birodalomban, amelyet Liu Ci hajtott végre. Ekkor a π értéket is rendeletileg 3, 1546645 ≈ 3, 1547-nek állapították meg Ez a számot az alábbiak szerint számították ki: a régi mér®edények

vizsgálata alapján meghatározták 2 egy 1,62 területegység (csi ) terület¶ kört. Ebbe berajzoltak egy egységnyi terület¶ négyzetet. A kör átmér®je és a négyzet átlója közti különbség fele, amit résnek neveztek, 0, 0095 csinek mutatkozott. Ezekb®l az adatokból a kör átmér®je: d= √ 2 + 2 · 0, 0095 ≈ 1, 4332. Mivel a kör területének mér®száma 1,62, azért a π· illetve a π· d2 = 1, 62, 4 1, 43322 = 1, 62 4 egyenletb®l π ≈ 3, 1547. Közben akadtak olyan matematikusok, akik pontosabb közelítéseket kerestek a π -re, ide tartozik a 3. századi matematikus Lin Huj, aki egy 10 egységnyi sugarú körbe szabályos 192 oldalú sokszöget rajzolt, a kör területének alsó közelít® értékére a 313 584 -öt találta. Fels® közelítésnek azt a területet 625 vette, amelyet úgy nyert, hogy a beírt sokszög területéhez hozzáadta a kimaradt körszeletek köré írt téglalapok területösszegét. Ekkor a fels® összegre

10 http://www.doksihu 64 314 625 -öt kapott. A két érték számtani közepe közelít®leg 314, 0184, ennek alapján a π ≈ 3, 14 közelítést vette. Pontosabb számítást hajtott végre Cu Cseng-Cse, aki Liu Huj módszerét a körbe írt 12288 és 24576 oldalú szabályos sokszögekre alkalmazta. Ekkor a következ®t kapta: 3, 1415926 < π < 3, 1415927, és számításra a π ≈ 355 113 közelít® törtet használta, amely már 7 tizedes jegyig pontos volt. A π -re sokféle közelítést adtak, ezáltal arra tudunk következtetni, hogy az ókori és a középkori Kína matematikusai egymástól elszigetelten éltek, egymás eredményeir®l vagy nem értesültek, vagy csak kés®n szereztek róla tudomást. Indiában az 5-6. században Árjabhatta alkalmazta a kör területe (T), kerülete (k) és átmér®je (d) közötti alábbi összefüggést: T = k2 d2 . A piramis térfogatát a háromszögt®l vett helytelen analógiával úgy határozta meg, hogy az

alapterületet szorozza meg a magasság felével. A gömb térfogatát úgy számította ki, hogy a gömbi félkör területét megszorozza a négyzetgyökével, ami rossz. Árjabhattánál sorakoznak a helyes és helytelen állítások A feladatoknál azonban a 3,1416 értékkel számolt, ami a hinduk által kapott 9 tizedes jegyre pontos, azaz π ≈ 104348 = 3, 1415926539. 33215 Az iszlám országokban is történtek kutatások a π -vel kapcsolatban. A perzsák 16 tizedes jegyig számították ki. Az arab matematikusok Arkhimédész módszerét alkalmazták egy 180 oldalú, majd 720 oldalú szabályos sokszögre, azonban kés®bb kiderült, hogy számolási hibát követtek el. Al-Kási Dzsamsid Gijászaddín a numerikus számolás terén volt jártas a 15. században 1427-ben jelent meg Az aritmetika kulcsa cím¶ könyve, amelyben a tizedes törteket ismertette, amelynek az ötlete Kínából származott. Igazán arra volt büszke, hogy 16 tizedesjegy pontossággal adta meg a

2π tizedestörtjét. Kiszámította 28 egy 3 · 2 oldalú szabályos sokszög kerületét az Értekezés a körr®l cím¶ tanulmányában, és ezt elosztotta a sokszög köré írható kör sugarával. Így kapta Al-Kási a következ® eredményt: 2π ≈ 6, 2831853071795685, azaz π ≈ 3, 14159265358979325. 11 http://www.doksihu Indiában 700 évnek kellett eltelnie, amíg egy említésre méltó nagy matematikus született, Srínivásza Ramanudzsan (1887-1920), aki tanárait és társait csodálatba ejtette memóriájával. Ramanudzsan kapcsolatba került Godfrey Harold Hardy angol matematikussal, aki foglalkozott tehetségével és a π -vel kapcsolatban számos összefüggést ismert. Például egy jelent®s és meglep® felfedezése volt Ramanudzsannak: 1+ 1 1 1 + + . + + . 1·3 1·3·5 1 · 3 · . · (2n − 1) végtelen sor és 1 1 1+ 2 1+ 1+ 3 1 + . végtelen lánctört. Külön-külön semelyik sem függ össze az e számmal illetve r a π -vel, azonban

az összegük π·e , ezt igazolta Ramanudzsan. 2 További sorok Ramanudzsantól: ∞ π X (−1)n (1123 + 21460n) (2n − 1)!! (4n − 1)!! = , 2n+1 32n (n!)3 4 882 n=0 ∞ X (4n)! (1103 + 26390n) 992 √ = . 4 4n 8π (n!) 396 n=0 2.4 Európa A középkori Európában Kirik diakónus 1134-es jegyzeteiben szerepelnek az égitestek térfogatának számításai Eratoszthenész mérései alapján, ebben a π ≈ 3, 125 közelítését használták. Továbbá meg kell említeni Leonardo Fibonacci (1170-1240) nevét, aki a középkor egyik legnevesebb matematikusa volt. Nevér®l legtöbbeknek a Fibonacci-sorozat jut eszébe, de fontos szerepet játszott a π értékének meghatározásában is. Fibonacci professzoroktól tanult matematikát, beutazta Egyiptomot, Szíriát, Görögországot, hogy tanulmányozza a különböz® vidékek számítási módszereit. A Patriarca gometriae 12 http://www.doksihu cím¶ m¶vét 1228-ban írta, melyben helyreállítja a π valódi

identitását, megem- 1 lítve, hogy a π értéke nem egészen pontosan 3 , hanem csak megközelít®leg 7 377 annyi. Rámutat arra is, hogy a π értéke a aránnyal is közelíthet®. Ez az 120 érték az indiai Ariakhatától származik, ezt Fibonacci megemlíti könyvében, említése arra vall, hogy ismerte az indiai matematikusok m¶veit is. Az el®bb említett közelítésekkel Leonardo nem volt megelégedve, megnevezett egy harmadik közelít® értéket: π = 864 ≈ 3, 1418, amelyet maga számított ki. A 275 m¶vének tartalmából kiderül, hogy ismerte Arkhimédésznek az eljárását, amellyel a körbe és a kör köré írt 96 oldalú szabályos sokszöget szerkesztett. Számításai szerint a π értéke az alábbi arányok közé esik: 1440 1448 , 4 < π < 458 9 458 15 amelyeknek megközelít® értéke 3,1418. Fibonacci tehát megállapította a π els® három pontos tizedes jegyét. A 15. században Nicolaus Cusanus több m¶vében foglalkozott a kör

kerületének kiegyenesítésével, de csak egy eredménye volt jobb Arkhimédészénél n Módszere eltért, Arkhimédész x kerület¶ körbe és köré írt 3, 6, 12, . , 3 · 2 oldalú sokszögekkel, Cusanus 4, 8, 16, . oldalú x kerület¶ sokszögekbe és köréjük írt körökkel számolt. Az r sugarú körben az α középponti szöghöz tartozó körív i hosszára a következ® képletet adta: i 3 · sin α = . r 2 + cos α A 16. században Francois Viète (1540-1603) francia matematikus munkájában, a Canon mathematicus seu ad triangula-ban ismertette Arkhimédész eljárását, alkalmazva egy 393216 oldalú sokszögre, így meghatározva a π els® kilenc pontos tizedes jegyét. Értékére a következ® határokat állapította meg: 3, 1415926535 < π < 3, 1415926537. Ezután Adriaen van Roomen (1561-1615) 15 pontos tizedes jegyét állapította meg a π -nek A sokszögek módszere cím¶ könyvében, ehhez egy 230 = 1073741824 oldalú sokszöget

használt. 13 http://www.doksihu Johannes Kepler (1517-1630) világhír¶ német csillagász, aki a bolygómozgás törvényivel vált ismertté matematikai problémákkal is foglalkozott. 1615-ben megjelent a Stereometria doliorum viorum cím¶ munkája (A boroshordók térmértana), ahol 92 különböz® alakú forgástest térfogatát számította ki. Célja, hogy rájöjjön azokra az alapötletekre, amelyeket Arkhimédész még a bizonyítás el®tt megsejtett. A kör területére vonatkozó tétele szerint: A kör területének és az átmér® négyzetének aránya majdnem 11:14. A π : 4 megközelítésére a 11 : 14 törtet használta, de ismert volt ennél jobb közelítés is. Kepler véleménye szerint Arkhimédész a következ®képpen okoskodott 2.2 ábra A 2.2 ábrán a körlap felbontható végtelen sok egybevágó (vagy nem egybevágó) körcikkre Igen vékony körcikkek keletkeznek, amelyek egyenl® szárú háromszögek. Helyezzük körív alapjukkal a

kiterített AB körkerületre úgy, amint ezt az Ak Ak+1 Ck háromszög mutatja. Toljuk el minden háromszög Ck csúcspontját az AB -vel párhuzamosan a kör O középpontjába. Az így nyert Ak Ak+1 O háromszög területe ugyanakkora marad, mint az Ak Ak+1 Ck háromszög területe. Minden körcikkháromszöget így átalakítva, összességük 14 http://www.doksihu lefedi az ABO derékszög¶ háromszöget. A kör területe tehát akkora, mint az ABO háromszögé, azaz r 2 · π . Így r2 · π : 4 · r2 = π : 4, ami közelít®leg 11 : 14 ≈ 0, 7857142, amikor is π ≈ 3, 1428568. Ludolph Van Ceulen (1540-1610) nem volt hivatásos matematikus. Arkhimédész módszerét alkalmazta egy 32 milliárd 512 millió oldalú sokszögre, ezzel megállapította a π értékének 20 pontos tizedes jegyet, az eredményt 1596-ban hozta nyilvánosságra, de halála után kéziratában további 15 tizedes számjegyet találtak még. A π -t emiatt hosszú id®n át Ludolph- féle

számnak is nevezték. Christian Huygens (1629-1695) zikus, csillagász és matematikus, De circuli magnitudine inventa cím¶ könyvében megállapította hatszögre alkalmazva a π pontos 9 tizedesjegyét. A π meghatározására Descartes is kigondolt egy módszert, amit Euler és más híres matematikusok is használtak, ez a módszer az azonos kerület¶ sokszögek módszere, amely a következ® elgondoláson alapul: ugyanakkora kerület¶ n és 2n oldalú szabályos sokszögeket tekintenek, és megállapítják a sokszögekbe és a sokszögek köré írt körök sugarai közötti összefüggést. Az alábbi lánctört, mely megtalálható Wallis 1655-ben megjelent Arithmetica innitorum cím¶ könyvében, egyik barátja William Brouncker nevéhez f¶z®dik: 4 =1+ π 2 . 32 2+ 52 2+ 72 2+ 2+ 92 2 + . James Gregory (1638-1675) skót matematikus és csillagász, aki 1667-ben adta ki Vera circuli et hyperbolae quadratura cím¶ könyvét, 1670-ben megtalálta azt a

sort, amely megadja az arctg x-t az x ív által: arctg x = x − x3 x5 x7 + − + . 3 5 7 Gregory azonban nem látta, hogy ezt a sort kapcsolatba lehet hozni a π -vel, ezt kés®bb Gottfried Wilhelm Leibniz fedezte fel, melyet 1682-ben az Acta 15 http://www.doksihu eruditorum-ban közölt: π 1 1 1 = 1 − + − + . 4 3 5 7 Thomas Fautat De Lagny (1660-1743), aki különböz® algebrai és geometriai problémákkal fogalkozott, kés®bb megállapította, hogy ez a sor nem alkalmazható a π szám közelít® értékének kiszámítására. Newton (1642-1727) munkái páratlanul nagy hatást gyakoroltak a matematikai és zikai tudományok fejl®désére. Számos felfedezés köszönhet® Newtonnak, többek között a dierenciálszámítás és az általános tömegvonzás törvénye. A Newton által felfedezett: arcsin x = x + amelyben ha x = 1 1·3 5 1·3·5 7 · x3 + ·x + · x + ., 2·3 2·4 2·4·6 1 , akkor a 2 1 3 5 π =1+ 3 + 7 + 10 + . 3 2 ·3 2 ·5 2 ·7

számsor adódik, amelynek segítségével könnyedén ki lehetett számolni a π els® 14 tizedes számjegyét. Abraham Sharp (1651-1742) könyveléssel foglalkozott, amikor Flamsteed csillagász felfedezte ®t. Sharp a 3000 csillag katalógusán dolgozott, és logaritmus, sinus és tangens tálázatokat készített, melyeket 1717-ben közölt A logaritmus táblázatokat felhasználva számította ki a π tizedes számjegyeit. Sharp, aki Gregory képletét alkalmazta, az x = q 1 érték behelyettesítésével 3 az alábbi sort kapta: π = 6 r   1 1 1 1 · 1− + − + . 3 3 · 3 32 · 5 33 · 7 A sor tagjainak összegzésével meghatározta a π szám 72 tizedes számjegyét. John Machin csillagász a π -nek 100 tizedes jegyét számította ki az alábbi formulát alkalmazva arctg 1 = π 1 1 = arctg − arctg , 4 5 239 16 http://www.doksihu az arctg 1 1 és az arctg sorbafejtésével a következ® sort kapta: 5 239 π =4· 4     1 1 1 1 1 1 − − + − + .

− + . 5 3 · 53 5 · 55 7 · 57 239 3 · 2393 W. Oughtred (1647) a π -t π -val jelölte, a π -n a periferia szó kezd®bet¶jét σ értette, σ -n pedig a diaméter kezd®bet¶jét, jel®lését a matematikusok elfogadták. De Moivre a hányadost c -rel jelölte. A mai π -vel való jelölést Euler r használta, amelyet William Jones nyomán vezetett be. Machin után Lagny volt, aki 128 tizedesjegyig jutott el a számjegyek ismertetésében. Euler fedezte fel, hogy Lagny tévedett a 113 számjegynél, mivel 7-es helyett 8-as szerepelt. Heinrich Lambert német matematikus 1766-ban igazolta a π irracionalitását. 1794-ben Legendre pontosabb bizonyítást ad, mint Lambert a π és a π 2 irracionális voltára. Laplace (1749-1825) a 19 században a valószín¶ségszámításnak új lendületet adott 1774-t®l számos tanulmányt írt ebben a témában és 1821-re összeállt A valószín¶ség analitikai elmélete cím¶ m¶ve, majd ezt követte A

valószín¶ség lozóai esszéje. Laplace ebben ismerte fel, hogy R +∞ x2 √ e dx valószín¶ség görbe alatti területe π . Ferdinand Lindemann német −∞ matematikus (1852-1939) felfedezte, hogy a π szám transzcendens, azaz nem létezik olyan racionális együtthatós polinom, amelynek a π gyöke lenne. Eközben tovább folytatódott a π tizedesjegyeinek meghatározása. Vega 140 tizedesjegyet számított ki, de az utolsó 4 nem bizonyult pontosnak. 1841ben William Rutherford 208 tizedesjegyet közölt, aki a π 5 1 1 = 4arctg − arctg + arctg 4 70 70 99 képlettel dolgozott. Z Dase kimutatta, hogy a 152 tizedesjegyt®l tévedett Két hónapnyi számolás után 200 tizedesjegyet határozott meg pontosan az alábbi formula segítségével: π 1 1 1 = arctg + arctg + arctg . 4 2 5 8 1847-ben Thomas Clausen 250 tizedes számjegyet számolt ki, ebb®l 248 pontos volt. Z Dase 1853-ban már 440 tizdes számjegyig jutott el 17 http://www.doksihu A csúcseredmény

1853 William Shanks nevéhez füz®dik, aki 607 tizedes jegyet közölt, de 1873-ban ezt még növelni tudta 707 tizdesjegyig. 1944-ben az angol Fergusson megmutatta, hogy Shanks az 528. tizedest®l tévedett 1958ban elektronikus számítógépek segítségével a π -nek 10000 tizedes számjegyét állapították meg. Az els® 3000 számhoz 10 percre volt szükség 2.5 Nap jainkban A π tizedesjegyeinek meghatározása a 20. században is folytatódott szuperszámítógépek segítségével 1949-ben George Reitwiesner a marylandi Ballisztikai Kutató Laboratóriumban meghatározta a π értékét 2037 tizedes jegynyi pontossággal, amelyben az els® általános digitális számítógép az ENIAC volt segítségére. Neumann János az ENIAC egyik fejleszt®je volt, ugyanebben a kutató laboratóriumban a π tizedesjegyeinek sorrendi összefüggéseit ke- reste, de sikertelenül. 1950-ben Daniel Shanks és ifjabb John W Wrench együtt kiszámították a π els® százezer tizedes

jegyét egy IBM 7090 számítógép segítségével, de rendszert vagy ismétl®dést ®k sem találtak. A verseny szüntelenül folytatódott a tizedes jegyek meghatározásában 1981-ig, amikor Yasumasa Kanada, a Tokiói Egyetem számítógép tudósainak vezet®je egy japán gyártmányú NEC szuperszámítógéppel meghatározott kétmillió számjegyet. 1984-ben Kanada és csapata 16 millió számjegyig jutott el, meggyelések nélkül. 1985-ben William Gosper matematikus és ismert számítógépzseni, a kaliforniai Sunnyvale-ben székel® Symbolics Inc. alkalmazottja meghatározta a π -t 17,5 millió tizedesjegynyi pontossággal egy Symbolics számítógépet alkalmazva. 1986-ban David H. Bailey a NASA-nál egy Cray 2 szuperszámítógépet felhasználva és a Jonathan és Peter Borwein testvérpáros által felfedezett algoritmust alkalmazva eljutott 29 millió tizedesjegyig, de semmi szokatlant nem talált. 1987-ben Kanada és csapata 134 millió számjegyig jutott egy NEC

SX-2 szuperszámítógéppel, de most sem fedeztek fel szabályosságot. 1988-ban Kanada továbbment, de 200 millió számjegy után sem láttak különösebb 18 http://www.doksihu dolgot, majd 1989 tavaszán a Chudnovsky testvérek váratlanul bejelentették 480 milliós világrekordjukat, azonban ®k sem találtak semmit. Gregory Chudnovskynak saját szuperszámítógépe volt, melynek létrehozásában bátyja, David segített, számítógépüknek az m-zero nevet adták, melyet a π meghatározására alkalmaztak, számítógépüket folyamatosan újították. Kanada és csapata egy Hitachi szuperszámítógéppel a Chudnovsky testvéreket maguk mögött hagyva új rekordot állítottak fel 536 millió tizedes jeggyel. Chudnovskyék folyamatosan dolgoztak és hamarosan elérték az egymilliárd számjegyet, de Kanada és csapata még ezen is túltettek A Chudnovsky testvérek újabb világrekordot állítottak fel, 1989 ®szén 1130160664 tizedes jeggyel. Az eredményüket 1500

darab mágneslemezen tárolták a lakásban, a lemezeken 300 ezer oldal fért el, persze itt csak egyetlen szám van tárolva. 1991 nyarának végén a Chudnovsky testvérek abbahagyták π felfedez® kísérletüket. Kiszámították a π els® kétmilliárd-kétszázhatvanmillió-háromszázhuszonegyezer-háromszázharminchat számjegyét Ez a teljesítmény világrekordnak számított, megduplázva az el®z®, 1989-es eredményüket A testvérek ideiglenesen túlszárnyalták versenytársukat, Yasumasa Kanadát, ami igen rendkívüli eredmény, ha gyelembe vesszük, hogy Kanada egy 500 kW-os Hitachi óriásgéppel dolgozhatott, amely egy Cray-nél is gyorsabban m¶ködött. Kanada elimeréssel nyilatkozott a Chudnovsky-testvérek eredményér®l. A π eddig kiszámított egymás után következ® számjegyei között el®fordul néhány érdekes részlet: többször is szerepel a 01234567890 és a 09876543210; egyszer 314159265358; egyszer a 27828182845, ami az e természeti

állandó els® néhány jegye; egyszer az 111111111111; egyszer a 666666666666; egyszer a 777777777777; egyszer a 888888888888; egyszer a 999999999999 fordul el®. 1996-ban Bailey, Borwein és Ploue egy olyan számítási algoritmust mutatott be, amelynek segítségével kiszámítható a π tetsz®leges számjegye (16os számrendszerben) az el®z® számjegyek ismerete nélkül, de 1997-re Ploue megoldotta ugyanezt tizes számrendszerben is:   ∞ X 1 4 2 1 1 π= − − − . 16k 8k + 1 8k + 4 8k + 5 8k + 6 k=0 19 http://www.doksihu 1988 óta március 14-én ünnepeljük a kör kerületének és átmér®jének hányadosát, a legendás π számot. Érdekesség, hogy 1879-ben ezen a napon született Albert Einstein. A szám rajongói nemcsak nemzetközi napot alapítottak a π -nek, hanem többek között verseket és dalokat is írtak. 1988-ban Darren Aronofsky lmet is forgatott a híres számról. 2002. decemberében már meghatározták 1241100000000 számjegyét

szuperszámítógép segítségével a Tokiói Egyetemen 2009 augusztusában, egy japán szuperszámítógépnek az úgynevezett Open T2K-nak köszönhet®en a π számjegyeinek rekordja 2576980377524 lett. 2009 decemberében ezt a rekordot sikerült túlszárnyalnia Fabrice Bellardnak otthoni számítógén, melynek köszönhet®en 2699999990000 tizedes számjegyét ismertette a π -nek. Máig megoldatlan kérdés, hogy a π normális szám-e, azaz a számjegyei között azonos gyakorisággal szerepelnek-e a 0, 1, . , 9 számjegyek 20 http://www.doksihu 3. fejezet A π néhány el®állítása 3.1 Leibniz-sor Gottfried Wilhelm Leibniz (1647-1716) polihisztor volt: jogász, történész, zikus, matematikus egy személyben. 1672-ben diplomataként Párizsban járt, ott ismerkedett meg Huygensszel, akinek barátja és tanítványa volt. Figyelemre méltó geometriai és algebrai felfedezései voltak, és különös érdekl®déssel viseltetett a technika iránt Az el®z®

fejezetben már szót ejtettünk a Leibniz által felfedezett sorról, aki a sort 1682-ben közölte, de már jóval el®tte felfedezte. 1. Tétel A Leibniz-sor: ∞ X (−1)k k=0 2k + 1 Bizonyítás. Tekintsük a =1− 1 1 1 1 π + − + − . = 3 5 7 9 4 q = −x2 hányadosú mértani sorozatot, melynek tagjai: 1; −x2 ; x4 ; −x6 ; x8 ; . Az els® n tag összege a mértani sorozatok összegképlete alapján: qn − 1 qn − 1 qn − 1 Sn := an =1 = . q−1 q−1 q−1 21 http://www.doksihu A végtelen mértani sorozat összege, ha |q| < 1, 0−1 1 1 qn − 1 = =− = . n∞ q − 1 q−1 q−1 1−q lim Sn = lim n∞ 2 Behelyettesítve (−x )-et (|x| < 1) 1 1 = . −x2 − 1 x2 + 1 lim Sn = − n∞ Az összegre |x| < 1 esetén tehát felírható, hogy 1 − x2 + x 4 − x6 + x8 − . = 1 x2 + 1 . Mindkét oldalt integrálva: Z 2 4 6 Z 8 (1 − x + x − x + x − . )dx = 1 x2 + 1 dx. Az integrálás hatványsorokra

tagonként elvégezhet®, így Z Z 1dx − Z 2 x dx + 4 Z x dx − 6 Z x dx + 8 Z x dx − . = 1 x2 + 1 dx, azaz x3 x5 x7 x9 + − + − . + C = arctg x 3 5 7 9 Az x = 0 helyettesítéssel C = 0 adódik. x− 3.2 Viète-féle végtelen szorzat Francois Viète (1540-1603) francia matematikus, aki már ifjú korában érdekl®dött a csillagászat iránt, ekkor kezdett foglalkozni els®sorban a csillagászathoz szükséges trigonometriával, de szabadidejében még a matematika egyéb területeivel is foglalkozott. Matematikai munkásságát az In artem analyticam isagoge m¶vében foglalta össze, melyet részletekben közölt Az el®z® fejezetben megemlítettem már, hogy ® is alkalmazta Arkhimédész eljárását. A Viète-féle szorzat a π közelítésére alkalmas. 2. Tétel Viète-féle végtelen szorzat: 2 = π r s 1 · 2 1 1 + 2 2 r v s u r u 1 t1 1 1 1 1 · + + . 2 2 2 2 2 2 22 http://www.doksihu Bizonyítás. A 31 ábrán az területe:

Tn = r sugarú körbe rajzolt n oldalú szabályos sokszög n · r2 2π π π · sin · = n · r2 · sin · cos . 2 n n n 3.1 ábra A kétszer akkora oldalszámú, ugyancsak az r sugarú körbe írt szabályos sokszög területe: T2n = következésképpen 2n · r2 π π · sin = n · r2 · sin , 2 n n π Tn : T2n = cos . n Legyen a kezedeti sokszög négyzet, amelynek területe T4 = 2r2 . Az oldalszámot folyton kett®zve π T4 : T8 = cos , 4 π T8 : T16 = cos , 8 π T16 : T32 = cos , 16 23 http://www.doksihu . . . π Tn : T2n = cos , n ahol n = 2k+1 ; k = 1, 2, . A fenti arányokat összeszorozva: T4 : T2n = cos π π π π · cos · cos · . · cos 4 8 16 n Ezután vegyük gyelembe, hogy T4 = 2r 2 és hogy n, illetve k növelésével, T2n tetsz®legesen megközelíti r2 π -t, az r sugarú kör területét, így 2 T4 π π π 2r2 = = = cos · cos · . . . · cos , r2 π π T2n 4 8 n vagyis cos π cos π 2 = · · . π 4 8 Mivel α cos = 2 ezért r 1

+ cos α , 2 √ π 2 cos = , 4 2 s s r √ π 1 + cos 4 π 2+ 2 1 1 1 cos = = = + ·√ , 8 2 4 2 2 2 . . . Így kapjuk, hogy 2 = π r s 1 · 2 1 1 + 2 2 r v s u r u 1 t1 1 1 1 1 · + + . 2 2 2 2 2 2 24 http://www.doksihu 3.3 Euler-sor Leonhard Euler (1707-1783) svájci matematikus és zikus, a matematikatörténet egyik legjelent®sebb alakja. Annak ellenére, hogy élete vége felé mindkét szeme világát teljesen elvesztette, munkakedve töretlen maradt. Káprázatos memóriával és bels® látással diktálta m¶veit 3. Tétel Az Euler-sor: ∞ X 1 π2 . = 2 n 6 n=1 Ez az 1734-es eredmény Leonhard Euler egy klasszikus, híres és fontos tétele. 1. Bizonyítás A most kövezkez® bizonyítás 1956-ban jelent meg William J. LeVeque számelmélet feladatgy¶jteményében feladatként A bizonyítás az Z 1Z 1 I := 0 0 1 dxdy 1 − xy kett®s integrál kétféle kiszámításán alapul. Az els®höz az I= 1 kifejezést mértani sorrá fejtjük 1−xy Z

1Z 1X ∞ 0 0 n (xy) dxdy = ∞ Z 1Z 1 X n=0 n=0 0 xn y n dxdy. 0 Az összeadandókat szorzatokra bontjuk, majd integrálunk: ∞ Z 1 X n=0   Z 1 n y dy = x dx · n 0 0    ∞  X 1 1 = −0 · −0 . n + 1 n + 1 n=0 Ekkor a következ®t kaptuk ∞ ∞ X X 1 1 1 1 . I= · = 2 = n + 1 n + 1 n=0 (n + 1) n2 n=1 n=0 ∞ X A számítás azt is mutatja, hogy a (pozitív függvényen vett, x = y = 1 pólusú) kett®s integrál véges. 25 http://www.doksihu Az I másik kiszámításához új koordinátákat vezetünk be, melyek u := és v y+x 2 √ 1 . Az integrálási tartomány egy := y−x 2 oldalú négyzet, melyet az 2 2 ◦ eredeti tartományból kapunk meg úgy, hogy a koordinátarendszert 45 -kal elforgatjuk, majd √ 2-ed részére kicsinyítjük. Behelyettesítve x = u − v -t és y = u + v -t 1 1 = 1 − (u − v) (u + v) 1 − u2 + v 2 adódik. Az integrál átalakításához dxdy -t 2dudv -vel kell helyettesíteni, hogy 1 − xy = kompenzáljuk a

koordináta-transzformáció miatti területfelez®dést, ugyanis a transzformáció Jacobi-determinánsa 2. A Jacobi-determináns kiszámítása a következ®képpen történik. Az x = x (u, v) ; y = y (u, v) változókat behelyettesítjük, ekkor Z d (x, y) dudv, d (u, v) f (x (u, v) , y (u, v)) T ahol d (x, y) = d (u, v) dx du dy du dx dv dy dv 1 −1 = 1 1 = 2. Az új integrálási tartomány és az integrálandó függvény az u tengelyre nézve szimmetrikusak, ezért kétszer kell a tartomány fels® felében kiszámítani az integrált, melyet természetes módon vágunk két részre: Z 1 Z u 2 I=4 0 0 Felhasználva, hogy dv 1 − u2 + v 2 Z dx a2 + x 2 akkor Z 1 Z 1 Z 1−u  du + 4 1 2 0 dv 1 − u2 + v 2 1 x = arctg + C, a a  u √ I=4 du+ 1 − u2 0   Z 1 1 1−u √ +4 arctg √ du 2 2 1 1 − u 1 − u 2 2 1 √ arctg 1 − u2 26   du. http://www.doksihu kapunk. Az integrálokat egyszer¶bbé tehetjük és végül

kiszámíthatjuk, ha u = sin θ-t illetve u = sin θ-t helyettesítünk. Azonban másképp is tovább haladhatunk, ha közvetlenül kiszámítjuk, hogy a  g (u) = arctg függvény deriváltja g 0 (u) = √ u √ 1 − u2  1 , 1 − u2 míg a  h (u) = arctg deriváltja 1−u √ 1 − u2 r  = arctg 1−u 1+u ! 1 1 h0 (u) = − √ . 2 1 − u2 Használhatjuk tehát az b 1 1 1 2 f (x) f (x) dx = f (x) = f (b)2 − f (a)2 2 2 2 a a Z b  0 formulát, és így Z 1 2 I=4 Z 1 0 g (u) g (u) du + 4 −2h0 (u) h (u) du = 1 2 0  1  1 = 2 g (u)2 02 − 4 h (u)2 1 , 2 ahonnan  2  2 1 1 2 2 I = 2g − 2g (0) − 4h (1) + 4h = 2 2  π 2  π 2 π 2 =2 −0−0+4 = . 6 6 6 Ebb®l a bizonyításból integrálással kaptuk meg az Euler-sor értékét, egy viszonylag egyszer¶ koordináta-transzformációval. Egy ehhez hasonló jelleg¶ zseniális bizonyítást talált kés®bb Beukers, Calabi és Kolk, melyben egy 27 http://www.doksihu egyáltalán

nem triviális koordináta-transzformációt használtak. Bizonyítá- P∞ 1 n=1 n2 sor felbontása páros és páratlan tagokra. Páros suk kiindulópontja a tagok: ∞ ∞ X 1 1X 1 1 1 1 = + + + . = , 22 42 62 4 k=1 k 2 (2k)2 k=1 páratlan tagok: ∞ X 1 1 1 1 + 2 + 2 + . = 2. 2 1 3 5 (2k + 1) k=0 Mivel ∞ X 1 ∞ ∞ X 1X 1 1 = + 2 2 k 4 k=1 k (2k + 1)2 k=1 k=0 azaz ∞ ∞ X 3X 1 1 = . 2 4 k=1 k (2k + 1)2 k=0 Így az Euler-sor ekvivalens a páratlan tagokra vonatkozó következ® egyenl®séggel: ∞ X π2 1 = . 2 8 (2k + 1) k=0 2. Bizonyítás Az összeget kifejezhetjük egy kett®s integrállal, mint azt az el®z® bizonyításban is tettük Z 1Z 1 J= 0 0 ∞ X 1 1 dxdy = . 2 2 1−x y (2k + 1)2 k=0 A J integrált kell kiszámítani. Beukers, Calabi és Kolk az alábbi új koordináták bevezetését javasolták: s u := arccos 1 − x2 1 − x2 y 2 s v := arccos 1 − y2 . 1 − x2 y 2 A kett®s integrál kiszámításakor nem vesszük gyelembe az

integrálási tartomány határát. Az x-et és y -t a 0 < x < 1 illetve 0 < y < 1 tartományban vizsgáljuk, ekkor u és v az u > 0, v > 0, u + v < π háromszögben fekszik. A 2 koordináta-transzformáció explicit inverze a következ® helyettesítéshez vezet: x= sin u cos v y= 28 sin v . cos u http://www.doksihu Ez a képlet bijektív transzformációt ad meg az S egységnégyzet belseje és a T =  = {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 1} (u, v) : u, v ≥ 0, u + v ≤ π2 háromszög belseje között. Ezután a koordináta-transzformáció Jacobi determinánsát kell kiszámítani: cos u cos v sin u sin v cos2 u sin u sin v cos2 v cos v cos u sin2 u sin2 v =1− = 1 − x2 y 2 . 2 2 cos u cos v Ez azt jelenti, hogy a kiszámítandó integrál Z π Z π −u 2 2 J= 1dudv 0 alakba írható, amely a T háromszög 3.4 0 1  π 2 π 2 = területével egyenl®. 2 2 8 Wallis-formula John Wallis (1616-1703) angol matematikus, aki nagy csodálója

volt a görög matematikusoknak, kiadta Arkhimédész, Ptolemaiosz és Arisztarkhosz munkáinak egy részét. 1673-ban közétette a De algebra tractatus, historicus et practicus-t. Wallis-formula: ∞ Y 2 2 4 4 6 (2n) (2n) π = · · · · · . = . 2 1 3 3 5 5 (2n − 1) (2n + 1) n=1 4. Tétel 2 1 2 · 4 · . · 2n π = lim · . n∞ 1 · 3 · . · (2n − 1) n Rπ n Bizonyítás. Vezessük be az: In = sin x minden n ∈ N-re. Ekkor I0 = π 0  és I1 = cos 0 − cos π = 2. Ha n ≥ 1, akkor Z π 2 n−1 sin x · sin In+1 = Z π xdx = 0
1 − cos2 x · sinn−1 dx = 0 Z π =  n−1  sin x − cos2 x · sinn−1 x dx = 0 29 http://www.doksihu Z π = In−1 −   cos x · sinn−1 x · cos x dx. 0 A parciális inetegrálás képletét alkalmazva Z π   cos x · sinn−1 x · cos x dx = Z π  cos x · 0 0 1 · sinn x n 0 dx = π Z π 1 1 n = cos x · · sin x − · sinn x · (− sin x) dx = n 0 n 0  =0+ 1 · In+1 . n Azt kapjuk, hogy

In+1 = In−1 − amib®l In+1 = Így Z π sin2n−1 xdx = 0 Z π sin2n xdx = 0 és Z π n · In−1 . n+1 2 · 4 · . · (2n − 2) ·2 1 · 3 · . · (2n − 1) 1 · 3 · . · (2n − 1) ·π 2 · 4 · . · 2n sin2n+1 xdx = 0 1 · In+1 , n 2 · 4 · . · 2n ·2 1 · 3 · . · (2n + 1) (n ∈ N) ,
n ∈ N+ , (n ∈ N) . Mivel sin2n−1 x ≥ sin2n x ≥ sin2n+1 x minden x ∈ [0, π]-re, ezért 2 · 4 · . · (2n − 2) 1 · 3 · . (2n − 1) 2 · 4 · . · 2n ·2≥ ·π ≥ · 2, 1 · 3 · . (2n − 1) 2 · 4 · . · 2n 1 · 3 · . · (2n + 1) amib®l  2 1 2 · 4 · . · 2n 2 · ≥π≥ · n 1 · 3 · . · (2n − 1) 2n + 1 h i2 2·4·.·2n · n1 sorozatot. Ekkor Wn ≥ π ≥ W · következik. Jelöljük Wn -nel a 1·3·.·(2n−1)  2 · 4 · . · 2n 1 · 3 · . (2n − 1) 2 2 2n+1 , vagyis π ≤ Wn ≤ π · , így a rend®rszabály szerint limn∞ Wn = π . 2n+1 2n 30 http://www.doksihu 4. fejezet A π

irracionalitása A π irracionalitását már Arisztotelész is sejtette, amikor a kör sugaráról és kerületér®l azt állította, hogy nem összemérhet®k. Az els® bizonyítást erre az alapvet® tulajdonságra Johann Heinrich Lambert adta 1766-ban. A mi bizonyításunk 1947-b®l, Ivan Nivent®l származik: rendkívül elegáns bizonyítás, mely elemi analízist használ. A módszer hatékony és valamivel több is kijön bel®le, mint azt mind Iwamoto, mind Koksma megmutatta: π r (ez er®sebb állítás) és e 5. Tétel 2 irracionális irracionális minden r 6= 0 racionális számra. π 2 irracionális. A tétel bizonyításához az alábbi lemmára van szükség: 1. Lemma Valamely rögzített n ≥ 1-re legyen xn (1 − x)n f (x) = . n! Ekkor • Az f (x) függvény f (x) = n!1 P2n i i=n ci x alakú polinom, ahol a ci együtt- hatók egészek. • 0 < x < 1 esetén 0 < f (x) < n!1 teljesül. • Az f k (0) és az f k (1) minden k ≥ 0-ra

egészek. 31 http://www.doksihu a , ahol a, b > 0 egészek. Most az b
F (x) := bn π 2n f (x) − π 2n−2 f 2 (x) + π 2n−4 f 4 (x) ∓ . Bizonyítás. Tegyük fel, hogy π2 = polinomot fogjuk használni, mely láthatóan kielégíti az F 00 (x) = −π 2 F (x) + bn π 2n+2 f (x) azonosságot. A lemma harmadik állítása miatt F (0) és F (1) egészek Elemi deriválási szabályok alapján
d [F 0 (x) sin πx − πF (x) cos πx] = F 00 (x) + π 2 F (x) sin πx = dx = bn π 2n+2 f (x) sin πx = π 2 an f (x) sin πx. Így ezt kaptuk: 1 1 0 N := π a f (x) sin πxdx = F (x) sin πx − F (x) cos πx = π 0 0 Z 1  n = F (0) + F (1) , ami egész. Továbbá N pozitív, hiszen egy (a határokat leszámítva) pozitív függvény integráljaként deniáltuk. Ha azonban n-et olyan nagynak választjuk, hogy πan < 1 legyen, a lemma második állításából n! Z 1 0<N <π an f (x) sin πxdx < 0 adódik, ami ellentmondás. 32 πan <1 n!

http://www.doksihu 5. fejezet Összefoglalás A szakdolgozatban betekintést nyertünk a π történetébe, illetve megismerhettük annak néhány el®állítását bizonyítással együtt. Találkozhattunk olyan híres tudósokkal, akik a π felfedezésében jelent®s eredményt értek el, mégis a tudomány más területén váltak ismertté, többek között zikusként, csillagászként emlékezünk rájuk. 33 http://www.doksihu Irodalomjegyzék [1] Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Bizonyítások a könyvb®l, Typo- tex, Budapest (2004) [2] Laczkovich Miklós, T. Sós Vera: Analízis II, Nemzeti Tankönyvki- adó, Budapest (2007) [3] Florica T. Cimpan: A π története, Albatrosz Könyvkiadó (1971) [4] Sain Márton: Nincs királyi út!, Gondolat, Budapest (1986) [5] Dörrie, H.: A diadalmas matematika, Gondolat, Budapest (1965) Internetes oldalak [6] http://hu.wikipediaorg/wiki/Pi (szam) [20100420] [7] http://wadanet.com/hasegawa/chudhtm [20100420] [8]

http://en.wikipediaorg/wiki/Chudnovsky algorithm [20100420] [9] http://t-t.freewebhu/minden/tudom/pii03htm [20100420] [10] http://napipille.bloghu/2010/03/14/nemzetkozi pi nap [20100420] 34