Mathematics | Higher education » A határozatlan integrál

Határozatlan integrál 2015.1104 Határozatlan integrál 2015.1104 1 / 21 1 Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás 7 Összefoglalás Tartalom Határozatlan integrál 2015.1104 2 / 21 Primitív függvény Primitív függvény Deníció F (x ) az f (x ) primitív függvénye a H ⊆ R halmazon, ha F 0 (x ) = f (x ) minden x ∈ H esetén. Megjegyzés Ha F (x ) primitív függvény, akkor F (x ) + c is az tetsz®leges c ∈ R esetén. Korábban már bizonyítottuk: Állítás Ha F és G is primitív függvénye f -nek egy nyílt I intervallumon, akkor létezik c ∈ R, hogy G (x ) = F (x ) + c minden x ∈ I esetén. Példa f (x ) = cos x -nek F (x ) = sin x primitív függvénye a teljes R-en Határozatlan integrál 2015.1104 3 / 21 Határozatlan integrál Deníció Az f függvény határozatlan integrálja f primitív függvényeinek

összessége. Z f (x ) dx = F (x ) + C , ahol F az f függvény egy primitív függvénye, és C ∈ R tetsz®leges. Megjegyzés Itt feltesszük, hogy F 0 (x ) = f (x ) egy intervallumon, és hogy ott vesszük a többi primitív függvényt is. Határozatlan integrál 2015.1104 4 / 21 Határozatlan integrál Példa Ha nem egy intervallumon vennénk a primitív függvényeket:   1 1 1 0 = − 2 ∀x ∈ R{0} = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) =⇒ − 2 -nek primitív x x függvénye az 1 x x : y y x de akkor ez is: x Viszont e két függvény különbsége nem konstans R{0}-on. Határozatlan integrál 2015.1104 5 / 21 Határozatlan integrál Példa Ha x > 0, akkor (ln x )0 = 1 x Z =⇒ 1 x dx = ln x + C a (0, ∞)-en Ha x < 0, akkor (ln(−x )) = 0 1 −x (−1) = 1 x Z =⇒ 1 x dx = ln(−x ) + C a (−∞, 0)-n Összefoglalva azt is szoktuk írni, hogy Z 1 x dx = ln |x | + C , de egyszerre csak az x > 0 vagy az x < 0 esetre

alkalmazuk. Határozatlan integrál 2015.1104 6 / 21 Alapintegrálok Alapintegrálok f (x ) xa 1 x sin x cos x 1 cos2 x 1 sin2 x ex sh x ch x f (x ) dx a+1 + C a ∈ R, a 6= −1 a+1 x ln |x | + C x < 0 vagy x > 0 − cos x + C sin x + C π  π tg x + C x∈ + k π, + (k + 1)π k ∈ Z R 1 − ctg x + C 2 2 x ∈ k π, (k + 1)π , k ∈ Z
ex + C ch x + C sh x + C Határozatlan integrál 2015.1104 7 / 21 Alapintegrálok Alapintegrálok (folytatás) f (x ) dx 1 th x + C ch2 x 1 − cth x + C x < 0 vagy x > 0 sh2 x 1 arctg x + C 1 + x2 1 arth x + C x ∈ (−1, 1) 1 − x2 1 arcth x + C x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) 1 − x2 1 √ arcsin x + C x ∈ (−1, 1) 1 − x2 1 √ arsh x + C 2 x +1 1 √ arch x + C x ∈ (1, ∞) 2 x −1 f (x ) R Határozatlan integrál 2015.1104 8 / 21 Integrálási szabályok Az integrálás általános szabályai Állítás Z Z f (x ) + g (x ) dx = Z c · f (x ) dx = c · Z R f (g (x ))g 0 (x )

dx = F (g (x )) + C , ahol F az f egy primitív függvénye f (x ) dx + Z g (x ) dx f (x ) dx Bizonyítás Az összegre és skalárszorosra vontakozó deriválási szabályból, illetve a láncszabályból következik. Példa Z 2 x + 3 dx = x √ 2 Z x 3/2 x −1 + C = 4 x √x − 3 + C 1 2x /2 + 3x −2 dx = 2 3 + 3 /2 −1 3 x Határozatlan integrál 2015.1104 9 / 21 Integrálási szabályok A fordított láncszabály néhány speciális esete Állítás Z 1 f (ax + b) dx = F (ax + b) + C , ha F 0 (x ) = f (x ) a Bizonyítás A láncszabály megfordítása f (x ), g (x ) ax + b szereposztással. Példa Z 1 2 e 2x +3 dx = e 2x +3 + C Határozatlan integrál 2015.1104 10 / 21 Integrálási szabályok Állítás Z f 0 (x ) dx = ln |f (x )| + C f (x ) Bizonyítás 1 A láncszabály megfordítása f (x ) , g (x ) f (x ) szereposztással. x Példa Z x +1 dx = x2 + 1 Z 1 2x 1 1 · + dx = ln(x 2 + 1) + arctgx + C 2 x2 + 1 x2 + 1 2 Határozatlan

integrál 2015.1104 11 / 21 Integrálási szabályok Állítás Z f a (x )f 0 (x ) dx = f a+1 (x ) +C a+1 Bizonyítás A láncszabály megfordítása f (x ) x a , g (x ) f (x ) szereposztással. Példa Z sin x dx = − cos3 x Z (cos x )−3 (− sin x ) dx = − (cos x )−2 1 +C = +C −2 cos2 x Határozatlan integrál 2015.1104 12 / 21 Integrálási szabályok Példa Z sin x dx = 3 − cos x + Z (1 − cos x ) sin x dx = 2 Z sin x + cos2 x (− sin x ) dx = 1 cos3 x + C 3 Példa 1 1 1 1 1 (1+cos 2x ) dx = (x + sin 2x )+C = x + sin 2x +C 2 2 2 2 4 A cos2 x függvény átalakításánál a cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x képletekb®l levezethet® 1 + cos 2x 1 − cos 2x cos2 x = sin2 x = 2 2 linearizáló formulák egyikét használtuk. Z cos x dx = 2 Z Határozatlan integrál 2015.1104 13 / 21 Z sin n Integrálási szabályok x cosm x dx alakú integrálok (n, m ∈ N) Ha n páratlan =⇒ n = 2k + 1: sin2k +1

x cosm x = sin x (sin2 x )k cosm x = sin x (1 − cos2 x )k cosm x = p (cos x ) sin x , ahol p egy megfelel® polinom. Ha P a p egy primitív függvénye, akkor Z sinn x cosm x dx = − Z p(cos x )(− sin x ) dx = −P (cos x ) + C Ha m páratlan, akkor hasonlóan lehet eljárni. 1 + cos 2x 1 − cos 2x Ha m és n is páros, akkor a cos2 x = és sin2 x = 2 2 linearizáló formulákat lehet alkalmazni. Ezeket behelyettesítve kisebb hatványokat tartalmazó kifejezést kapunk. Határozatlan integrál 2015.1104 14 / 21 Helyettesítéses integrálás Helyettesítéses integrál Az Z f (g (x ))g 0 (x ) dx = F (g (x )) + C szabály felírható Z alakban is, mert R f (g (x ))g (x ) dx 0 g (x )=u = Z f (u ) du f (u ) du = F (u ) + C . Formálisan a g (x ) = u , g 0 (x ) dx = du helyettesítést hajtjuk végre. Akkor érdemes alkalmazni, ha f primitív függvényének kiszámítása nem megy egy lépésben. Határozatlan integrál 2015.1104 15 / 21

Helyettesítéses integrálás Példa (e x )3 (e x )2 e 3x e x =u x dx = dx = e dx = 2x 2 + (e x )2 2 + (e x )2 Z 2 +2 e Z Z u 2 1 du = 1 − du = 1 − du = 2 2 2+u 2+u 1 + ( √12 u )2 arctg √u2 √ x ex u − 1 √ + C u==e e x − 2arctg √ + C Z Z / 2 Z 2 Határozatlan integrál 2015.1104 16 / 21 Parciális integrálás A szorzatszabály megfordítása - parciális integrálás Állítás Z Z f 0 (x )g (x ) dx = f (x )g (x ) − Z f (x )g 0 (x ) dx, vagy másképpen f (x )g (x ) dx = F (x )g (x ) − Z F (x )g 0 (x ) dx, ahol F 0 (x ) = f (x ). Szorzat integrálja helyett egy másik szorzat integrálját kell kiszámítani. Bizonyítás A szorzatra vonatkozó deriválási szabály: (f (x )g (Zx ))0 = f 0 (x )g (x ) +Z f (x )g 0 (x ) f 0 (x )g (x ) dx + Ebb®l: Z =⇒ f (x )g 0 (x ) dx = f (x )g (x ) + C f (x )g (x ) dx = f (x )g (x ) − 0 Z f (x )g 0 (x ) dx Határozatlan integrál 2015.1104 17 / 21 Parciális integrálás Akkor célszer¶

használni az f (x )g (x ) szorzat integrálására, ha g 0 (x ) lényegesen egyszer¶bb mint g (x ) F (x ) nem sokkal bonyolultabb f (x )-nél Függvénytípusok xn 1 xn ex sin x , cos x shx , chx ln x arc függvények area függvények derivált primitív függvény kicsit kicsit egyszer¶bb bonyolultabb (f®leg ha n = 1) kicsit kicsit bonyolultabb egyszer¶bb (kivéve n = 1) ugyanolyan ugyanolyan egyszer¶bb bonyolultabb Határozatlan integrál 2015.1104 18 / 21 Parciális integrálás Példa e 2x 1 1 1 1 · e 2x dx = xe 2x − e 2x + C 2 2 4 Z Z − 2 1 1 1 x 1 ln x − ln x dx = · dx = − 2 ln x + 3 2 −2 −2x x 2x Z x 1 1 x −2 1 1 1 −3 x dx = − 2 ln x + · + C = − 2 ln x − 2 + C 2 2x 2 −2 2x 4x Z Z Z 1 arctgx dx = 1 · arctgx dx = x arctg x − x dx = 1 + x2 Z 1 2x 1 x arctg x − · dx = x arctg x − ln(1 + x 2 ) + C 2 2 1+x 2 Hasonlóan számítjuk ki a többi arc, area és az ln fv. integrálját Z xe 2x dx = x 2 Z − Határozatlan

integrál 2015.1104 19 / 21 Parciális integrálás Példa Néha többszöri alkalmazás szükséges: Z Z (x − x ) cos x dx = (x − x ) sin x − (2x − 1) sin x dx = Z 2 (x − x ) sin x − (2x − 1)(− cos x ) + 2(− cos x ) dx = 2 2 (x 2 − x ) sin x + (2x − 1) cos x − 2 sin x + C Z Z e x sin x dx = e x sin x − e x cos x dx = Z x x e sin x − e cos x + e x (− sin x ) dx Z e x sin x dx = I =⇒ I = e x sin x − e x cos x − I I= e x sin x − e x cos x 2 +C Határozatlan integrál 2015.1104 20 / 21 Összefoglalás Összefoglalás Primitív függvény és határozatlan integrál fogalma Alapintegrálok és integrálási szabályok A láncszabály megfordításának speciális formái Helyettesítéses integrálás Parciális integrálás Határozatlan integrál 2015.1104 21 / 21