Mathematics | Higher education » A lineáris algebra alapjai

KVANTITATÍV MÓDSZEREK reive! együtt dolgozik. Az ú] tudományág határtenilet a matematika, a gazdaságtudomány és a számítástudomány között Az operációkutatás középpontjában a közgazdasági és a matematikai rnodell áll. Hosszú az út a döntési probléma megfogalmazásáról a modell megalkotásáig. A feladat a probléma részletes leírásával - a változók, a korlátozó feltételek megadásával - kezdődik, majd a célra vonatkozó ismeretek mélyítésével, pontosításával folytatódik. A szükséges adatok megszerzése és pontosságuknak ellenőrzése után következik az adott körülményeknek legjobban megfelelő modell számszerűsítése és megoldása. A modell helycsségét a gyakorlattal való egybevetéssol ellenőrizzük. 1. A LINEÁRIS ALGEBRA ALAPJAI 1.1 MÁTRIXARITMETIKA A mátrix fogalma Definíció. A döntéshozó szempontjából a modelleknek kettős hasznuk van. Egyik oldalról a döntéshozó a rendszer részletekbe meno

vizsgálatára kényszerűl; a modell előkészítése során fel kell tárnia a rendszer összefüggéseit, és így a modcll a gazdasági folyamat elemzésének eszközévé válik. Másrészt viszont az operáciokutatási rnodell alkalmas a vizsgált paraméterek különböző kritériumok szerinti optirnális értékeinek meghatározására, ezért képes a döntés orientálására is. Könyvünk a lineáris algebrai alapok után a lineáris programozásba, a hozzárendelési probléma modellezésébe, a hálótervezésbe és a döntésanalízisbe vezeti be az olvasót. A szerzők várják, és előre is köszönik a tisztelt Olvasók észrevételeit, megjegyzéseit. Budapest, 2005. január A szerkesztá BGF Kűlkereskedelmi Főiskolai Kar Matematika-statisztika Tanszék Legyen adva III . n számú ajj valós szám, ahol i = 1, 2, , /11;j = 1 2, . , ll Akkor ezen számok a In a 2:! alj a ;-J n 2n ail a i2 ajj ain aml a m2 Umj amil ali a 12 a 21 alakú

elrendezését mátrixnak nevezzük. Mivel ennek a mátrixnak /JI sora és II oszlopa van, tn . Il-es, vagy /II 11 típusú mátrixnak nevezzük A matrixban lévő ajj számok a mátri x elemei; pontosabban szólva az ajj szirnbólum a mátrix i-edik sorának j-edik clcmét, illetve j-edik oszlopának i-edik elemct jelöli. Az elrendezésben az elem első indexe az ún sorindex, a második pedig az ún. oszlopindex Ennek megfelelően az ajj elem - az ún általános elem - az í-edik sorj-edik elemét jelenti. A gyakorlatban sokszor találkozunk mátrixokkal. hiszen a legtöbb statisztikai kimutatás mátrixalakban jelenik meg. Példaképpen felírunk egy 3 . 4 típusú mátrixot: KVANTITATÍV MÓDSZEREK A lineáris algebra alapjai A mátrixot a részletes kiírás helyett a következő módon is szokás jelölni: A = [ aj;~ ] ( i = 1,2, . , m] = 1,2, ,11), vagy ru-n A, amit Így olvasunk: 11/ . 11 típusú A mátrix, vagy egyszerű en A, azaz jelőlhetjük bármely mátrixot

egyetlen szimbólummal is. Nyomtatort szövegben a mátrixok jelölése általában félkövér latin nagybetű, kézírásban aláhúzolt latin nagybetű. Az III Il tÍpusú mátrixok halmazát M(m; n)-nel jelölve, ezt is irhatjuk: AE M(lI1; 11). Egy 11/ . Il tipusú matrix transzponáltja 11 . 11/ tipusú matrix. Transzponálás során az i-edik sor j-edik eleme a j-edik sor i-edik elemévé válik. Ennek megfelelően a transzponálás lényegétjól kifejezi az [ajj]* = [aj;] ,(i = 1,2, . , nt;] = 1,2, . ,17) összefüggés így a transzponálás fogalmából következik, hogya transzponált mátri x transzponáltja egyenlő az eredeti mátrixszal, azaz (A *) = A. Mátrixok Sor és oszlopvektor egyenlősége és a nagyságrendi relációk Dcfiníció. Két azonos típusú A és B matrix között az = (egyenlő), < (kisebb), > (nagyobb), ::::;(kisebb egyenlő), ~ (nagyobb egyenlő) relációk valamelyike áll fenn, akkor és csak akkor ha az illető reláció elemről

elemre érvényes, azaz bármely lehetséges i ésj index esetén ajj és bjj között az illető reláció teljesűl. Ismeretes, hogy két valós szám között mindig fennáll az = , < , > , relációk valamelyike, addig az azonos típusú mátrixok között ez nem így van. Definíció. Az egyetlen oszlopból álló (tehát III l tipusú) mátrixot (m elemű) oszlopvektornak az egyetlen sorból álló (tehát 1 11 tÍpusú) mátrixot (n elemű) sorvektornak nevezzük. A vektor elemeit a vektor komponensei nek, vagy koordinátáinak is szoktuk nevezni. A továbbiakban az 111 el emlí oszlopvektorok halmazút a Vm szimbolúmrnal, az 11 elemű sorvektorok halrnazát pedig aV;: szimbolummal fogjuk jelölni. A vektor jelölése nyomtatásban félkövér, kézírás ban aláhúzott latin kisbetű. Például ha A = [1-3 D = [1-2 2]8 ' akkor definíciónk értelmében A = B, A < e, B s D, de e és D között a vizsgált relációk egyike sem áll fenn. Mátrix

transzponáltja Az A matrix transzponáltján azt a mátrixot értjük, amelynekj-edik sora az A j-cdik oszlopával (kővetkezésképpen, j-edik oszlopa az A j-edik sorával) egyenlő mindenj-re. Az A mátrix transzponáltjút A *-gal jelöljük. s Legyen például A egy 3 . 2 típusú mátrix: A= 3 r akkor transzponáltja -1 a következő 2 . 3 tipusú matrix: .Ji] O , 13 A' = [~ 3O -1] 13 . Az oszlopvektor jelölése: A sorvektor jelölése: 2 a= a - [a l'. - h· = [hl; b.: ; h,,l Itt a * (csillag) mutatja, hogyasorvektor egy oszlopvektor trauszponáltjaként fogható fel. Nyomdatechnikai okból gyakran Írják az oszlopvektort egy sorvektor transzponálíjaként. Például "{!} [-1: 5: 3J'. Egy /11 . n típusú matrix valójában 111 darab II komponensű sorvektornak, illetve 11 darab tn komponensű oszlopvektornak egymás mellé rendezése. Az A mátri x oszlopvektorait rendre a" a2' . , an vektorral jelölve, a mátrix így

írható fel: KVANTITATÍV A lineáris algebra alap/ni MÓDSZEREK az A mátri x sorvektorait rendre al *, a2 =, . , am* vektorraljelölve: Hasonlóan, A =[:11' am Speciálls zetükből nem derülne ki komponenseik száma, és fontos a közlendőnk szempontjából, akkor meg kell mondanunk az elemeik számát. Megállapodás szerint tehát O, 1, e, mindig oszlopvektorokat jelölnek. Speciális mátrixok A nullmatrix (zérusmátrix) minden eleme O. Jele: O Például a 3 . 4 típusú nullmatrix a következő: vektorok o O O 0j A nullvektor (zérusvektor) olyan vektor, amelynek minden eleme O. Jele: O Például a negyelemű null vektor így írható fel: 0=0000. rO O O o o o= O O illetve 0= [ O; O; O; 0]* . O Az egységvektor olyan vektor, amelynek egyik eleme 1, a többi nulla. Szimbolikusan ej-vel jelöljük, ahol az i index mutatja, hogy az egyes hányadik helyen áll. Például a háromelemű vektorok között pontosan három külőnböző egységvektor

található. Oszlopvektor alakban a következők: Az összcgző A négyelemű vektor olyan vektor, amelynek minden eleme 1. Jele: 1 összegző vektor így Írható fel: 1 1= 1 1 illetve 1=[1;1;1,1]* Ha egy mátrix sorainak és oszlopainak száma egyenlő (m = ll), akkor azt négyzetes vagy kvadratikus mátrixnak nevezzük. A négyzetes mátrix sorainak (illetve oszlopainak) száma a matrix rendje. Az alI> a22, . , ann elemeket, amelyek az ún főátlót alkotják, diagonális elemeknek nevezzük. Az ~I A{i ; -:4 mátrix például egy negyedrendű négyzetes (kvadratikus) matrix, amelynek diagonális elemei: 3; O; -4; 8. Diagonális mátrixnak nevezzük az olyan négyzetes rnátrixot, amelynek csak a főátlóban van O-tóI különböző eleme. Ha az ali O O O O a 22 O O A= O O a:;:; O O () () a un 1 A nullvektor, az egységvektor és az ősszcgző vektor jelöléséből nem derül ki, hogya vektor hány elemű. Általában a környezetéből, az

elvégzendő műveletekből egyértelműen következik, hogy hány elernűek. Ha a kőrnye12 mátrix esetén van olyan a., amely nem O, akkor A valódi diagonális matrix. 13 KVANTITATív ~ t MÓDSZEREK A diagonális mátri x jelölésére szimbólumot Például: használjuk. í f < aJ 1; a 22 ; .• ; II O O O O O O O 1 O O O -8 [~ I az i > nil I =<5;0;1;-8> . t Az egységmátrix olyan diagonális mátrix, amelynek minden diagonális eleme 1, azaz oszlopai egységvektorok. A másod- illetve harmadrendű egységmatrix a következő: I = Általánosan: En, II-ed rendű egységmatrix. Háromszög-, vagy trianguláris mátrixnak nevezzük az olyan kvadratikus mátrixokat, amelyekben vagy a főátló feletti, vagy a főátló alatti elemek mind nullák. Az első esetben alsó háromszögmátrixról, a másodikban felső háromszögmátrixról van szó. a következő Az A kvadratikus mátrixot szimmetrikusnak nevezzük, ha a főátlóhoz

képest szimmetrikusan elhelyezkedő elemei egyenlőek, azaz aij = aji minden lehetséges i ésj értékre igaz. Vagyis az A mátrix egyenlő a saját transzponáltjával: A=A*. Az A kvadratikus mátrixot ferdén szlmmetrikusnak nevezzük, ha a főátlóhoz képest szimmctrikusan elhelyezkedő elemek egymás ellcntettjci, azaz ajj = -ajj minden lehetséges i és j értékre igaz. (A főátló elemei a definició kővetkeztében nullák.) Vagyis ebben az esetben: A = -A *. Például az I s I I E,- [1O O], 1 Például alsó hárornszögmátrix ! A lineáris algebra alapjai l =l~ ~ ~ J és F = O 6 -5 mátrixok közül S szimmetrikus, A mátrixok c=[OO -2]O ' 0= 7 5 O () O 4 O O 3 O O O '~l mátrixot. Itt a kövctkcző Ali ~ = 41 6 - 4 -6 O F pedig ferdén szimmetrikus mátrix. 7 O 2. 4 -1 2 1 8. O -2 -2 1 O. O 3 2 O O 4 O 2 O 6 -1 ------------- négy blokkról van szó: [~ -2 A21 14 O A gyakorlatban előforduló

nagyméretű mátrixokat sokszor - függőleges és vízszintes osztovonalakkal - kisebb részekre, ún. blokkokra (vagy minormátrlxokra) bontjuk. Az ilyen felbontást particiouálásnak is szoktuk nevezni. Tekintsük pl. az A és II mátrix: C és O mátri x pedig felső háromszögmátrix: -2 blokkokra bontása A A kővctkezö l~ 1 1 O = [: O 2 ~J' ~J A 12 = An = [4 ,lj ~ ;2 , [: -~J 15 KVANTiTATív A lineáris algebra alapjai MÓDSZEREK Az A mátrixot a következő módon is felírhatjuk: A = [A II A 21 A 12]. A22 A blokkokból felépített mátrixot tekinthetjük olyan mátrixnak, amelynek elemei is mátrixok. Az ilyen mátrixelcmű matrixokat hipermátrixoknak is neveznI. A particionálás gyakran alkalmazott esete az, amikor az adott mátrixot oszlopvektorokra. vagy sorvektorokra bontjuk szét Ha pl az A matrix oszlopvektorait rendre az al; a2; a3; a, szimbólumokkal jelöljük, akkor A = [ al; a2; a3; a4] r:il, vagy A nullvektornak.

Például: A+()= lS = az A sorvektorait lb,; b,; bJJ', vagy A' = jelölik, akkor A lb,; b,; bJJ . Mátrixok összeadása 4 () 9O -13] + l"O "O O O O vagy O O ~H~ 2 lJ 4 O 3~I ] = A, -1 O b+O=l1H~H1j=b Mátrixok Ezek után rátérünk az alapműveletek ~ 2 -I O , ha pedig a b,"; b2*; b3 szimbólumok felírható a következő módon is: A = A valós számok ősszeadásánál sajátságos szerepet játszik a nulla. A O hozzáadása ugyanis bármely valós számot változatlanul hagyja Hasonló szercpük van a mátrixok között a nullmátrixoknak, illetve vektorok esetében a szorzása skalárral definiálására. és kivonása Az összeadás és ki vonás művelete csak azonos típusú mátrixok esetén van értelmezve a következő definíció szerint. Definíció. Két m n típusú A = [ajj] és B = [bjj] matrix összegén [ill kűlönbségén] azt az m Il-es C = [Cjj] mátrixot értjük, amelynek minden elemére igaz,

hogy: Cjj = ajj + bjj, [ill. Cjj = ajj - bij] Az összeadást és kivonást tehát elemenként végezzük. lao]lj + [b] lj = [a lj + b]lj és [a-ollj - [b] lj = [a lj - b]lJ' Például: Definíció. Tetszőleges III Il tipusú A = [ajj] matrixnak valamely 1 skalárral (valós számmal) való szorzatán azt az III . n-es C = [Cjj] mátrixot értjük, amelynek minden elemére igaz, hogy Cjj = 1 . ajj' A skalárral való szorzást tehát clemenként végezzük: A . [ajJ = [1 ajj] Például: 3 • [12 16] -4 ,vagy 6· [O; 2; -1; 3] 4· [ ~ ~IJ= ~ 20 = [O; 12; -6; 18]. Ha 1 = 1, akkor a szorzat A . A = A, vagyis l-gyel szorozva a mátri x nem változik. 1 = -1 esetén (-1) . A = -A olyan matrix, amelynek minden eleme (-1)szerese az A mátrix megfelelő elemének; ezért a -A mátrixot A ellentettjé- és [0-6 25 51J [-2 4 3O 4J2 = [--22 22 3-3J . 16 nek nevezzük. Az A + (-1) . B összeadás eredménye ezért éppen az A - B matrix Egy mátrixot az ellentett jével

összeadva nullmátrixot kapunk: A + (-A) = O. Al = O skalárral való szorzás eredménye szintén nullrnátrix: O . A = O 17 KVANTITATív A lineáris algebra alapjai MÓDSZEREK A mátrixok elemei valós számok, ezért az elemenkénti műveletvégzésből és a valós számok halmazában érvényes műveleti azonosságokból adódik, hogy a bevezetett műveletekre teljesülnek a következő azonosságok. A mátrixok összeadása és a mátrixnak skalárral való szorzása kommutativ művelet, azaz: Például: Az mátrixoknak A mátrixok összeadása asszociatív művclet, és a mátrix skalárral zására is érvényes az ún. vegyes asszociativitás, azaz és és a Al = 6; Al = -3; A3 = O skalárokkal képzett lineáris kornbiná- =[1: ~:]+[ 03~]+[~ ~]=[I: ~~] mátrix. mind az összeadásra. mind a (A + fi)A = AA + )lA. A transzponálás és az összeadás, illetve a transzponálás szorzás sorrendje felcserélhető, azaz (A + B)* = A + B és (AA) Mátrixok

való szor- (Afi)A = A(uA). Mátrixnak skalárral való szorzása disztributív, skalárösszeadásra nézve, azaz A (A + B) = AA + AB [O1 -1]O' 6[ ~ ~] + (-3{ ~ -Ol] + o[~~ :)] = A·A=A·A. (A + B) + C = A + ( B + c) A~ = ciója a A+B=B+A és =[~ ~l A, és a skalárral való I1 = A . A *. f lineáris kombinációja lineáris kombinációja a 2b, + 5b~ - 3b1 + b , = [-:31 3 vektor. J Definíció. A AIAI + AlA} + + AkAk lineáris kombinációt az Al; Al; . ; Ak mátrixok konvex lineáris kombinációjának nevezzük, ha a benne szercplő skalárok nem negatívak, és az összegük 1. k Az összeadás és a skalárral való szorzás alkalmazásával kapcsolatos, szerepet játszó fogalom, a lineáris kombináció fogalma. fontos Detiníció. Adott m Il típusú Ab A2' , Ak mátrixokat rendre megszorozva a tetszőleges Ab ,12, . , Ak skalárokkal, majd az így nyert szorzatokat összeadva a k AIAI A2A2 + . + AkAk = L,AjAj i = I kifejezésnek

megfelelő 11/ . Il-es mátrixhoz jutunk, melyet az Al, mátrixok egyik lineáris kombinációjának nevezünk. 18 Al, . , Ak ( Aj :s: O és L, A = 1). i i = I Vektorok skaláris szorzata A mátrixok szorzásának értelmezéséhez. szükségünk lesz a vektorok skulá- ris szorzatának ismeretére. Dcfiuíció. Két II elemű a és b vektor skaláris szorzután azt a valós számot értjük, amelyet úgy kapunk, hogya és b azonos indexű kornponcnscit összeszorozzuk, és a kapott szorzatokat összeadjuk. A szorzat kijelölésekor az első tényezőt sor-, a másodikat oszlopvektor formájában írjuk fel. Ezen Írásmód előnye a későbbiekben fog kitűnni 19 KVANTlTA71v MÓDSZEREK A lineáris algebra alapjai bl illetve b2 * II a b=[al;a2;a3; . ;a,,]· b3 =albl+aobo+ -- . +a b ="'ab lill II 1*b=[I;I; L.JII· j::;1 . ;11, = b, + bl + . + b" = L b, . j ea ] b" Például, ha a = [5; 2; 8; O; -1]* és b = [O; -1; 3; 2; -2], akkor

f6;4;3;-SIII=6+4+3+( S)= Például, O 8 -I a* b=[5;2;8;0;-I]· 3 =0+(-2)+24+0+2=24. 2 Mátrix szorzása mátrixszal -2 A vektorok skaláris szorzása kornmuratív abban az értelemben, hogy mindegy, melyik tényezőt írjuk első, és ezért sorvektorként, és melyiket második tényezőként oszlopvektor formájában. Ez a tulajdonság a valós számok szorzásának kommutativitásán alapul: a' b= ~ab L.,;II i::; li::; = ~ba L.JII =b'a . I Előző példánk esetében: 5 A vektorok skaláris szorzatának ismeretében definiálhatjuk két matrix szorzatát abban az esetben, ha az első tényező oszlopvektorainak száma egyenlő a második tényező sorvektorainak számával. Az ilyen matrixokat az adott sorrendben konformáhilisnak nevezzük, s csakis ilyen mátrixok escten értelmezzük a szorzást. Definicíé. Az III P típusú A = [ajj] mátrix és ap' 1/ tipusú B = [bjj] mátrix szorzatán azt az 111 . JI típusú C = [Cjj] mátrixot

értjük, amelynek bármely i,j indexű eleme az A mátri x i-edik sorvektorának és a B mátrixj-edik oszlopvektorának a skaláris szorzata. Azaz 2 b*a=[O;-1;3;2;-2]. 8 blj =0+(-2)+24+0+2=24=a'b. bT~ O Cíj = [3 il ; a í2; a íJ; . ; -1 .• ;a ]. II ip ip 1 k =1 Ha egy tetszőleges II elemű a vektort az II elemű összegző vektorral szorzunk, akkor eredményül az a vektor komponenseinek összegét kapjuk. Ezért nevezzük a csupa 1-ből álló véktort összegző vektornak. a*1=[al;ao; 1) a 1· b 3j = a í b lj + a í2b 2j + . + a b pj= La íkb kJ Az A . B szorzatmátrixot tehát az első tényező, azaz a szorzandó A matrix sorvektorokra és a második tényező, azaz a szorzó B matrix oszlopvektorokra bontásaval a következőképpen írhatj uk fel: al " =31 +32 + . +3 = "'a n ~., j::;1 A·B= m·p p-u 'j . a; . [b b • 3m 1> 2; b n ]= a;bl a;02 a'h 1 n a;bl a;b;! a;h" a~nb, a~lIb2 a' b III

II 20 21 KVANTITATÍV A lineáris algebra alapjai MÓDSZEREK Az összeadás és a skalárral való szorzás művelete nem változtatja meg a mátri x típusát. Pontosabban fogalmazva: az 11/ Il típusú mátrixok összege és ilyenek skalárszorosai (ahol III és II rögzítctt szám) szintén 11/ . 11 típusú mátrixok. Ezt úgy is mondjuk, hogy az /11 • 11 típusú mátrixok halmaza zárt az előbbi két műveletre nézve. A szorzás esetén más a helyzet. A szorzásban szereplő tényezők általában különböző típusú mátrixok, és a szorzat általában ismét más típusú. Természetescn az ll-ed rendű négyzetes matrixok halmaza zárt a szorzásra nézve A szorzatmátrix elemei nek kiszámítása nagy figyelmet kíván, mert a sok elem nehezen áttekinthető. Elkerülendő a hibákat, célszerű a két mátrixot a kövctkező, ún. Falk-séma szerint írni: IT] Az AB szorzatot a Falk-séma ali a21 al2 a22 bl2 bpl bp2 CI2 C22 bn Cll C21 alI'

a2p A 2 -1 4 -4 -2 4 -4 16 2 S 8 blj b2j bln b2n bpj bpn Clj C2j Cin C2n ai2 aip Ci! Ci2 Cij Cin a I am:! amp C I Cm:?: Cllj emil III O O -2 S -!O 8 8 -2 18 -s II -10 19 2 4 4 -2 -101 -2 -S 18 II . -10 19 1 8 O 16 ~ [ ail III 2 O 1 -3 O Majd a BA szorzatot a Falk-séma bll bn -1 1 3 Tehát AB = C = felírva: 4 -1 O 4 2 [EJ IABI Azaz részletesebben szerint felírva: AB =C. I szerint kiszámitva: A O 2 II 2 1 O 3 2 4 4 -1 O -1 O 5 r: 1;1 2 O -2 4 2 -1 1 4 -8 9 24 -3 I II 1 3 12 7 -9 BA =D, II Például: Határozzuk meg az A . B szorzatnak szorzatnak megfelelő D mátrixot, ahol megfelelő C , majd aB' A azaz B A= D = 1 24 adódik. -9 Látjuk, hogy AB nem egyenlő BA -val, vagyis a mátrixok 22 A = [~ !)~L,I -1 ~ 1 ~21 4 -3 1 2 és -lj O . S szorzása nem kommutatív művelet. A mátrixszorzás tulajdonságai: A mátrixok szorzása - amint a fenti példában is láttuk -

általában nem kOI/1mutatív művelet, sőt egyes esetekben a tényezők felcserélése már a konfonnábilitás megkövetelése miatt sem lehetséges. 7i KVANTlTATiv MÓDSZEREK A lineáris algebra alapjai A mátrixok szorzása asszociatív művelet, azaz (A . B) C = A (B C), feltéve, hogy az A . B és B C szorzatok léteznek Érvényesek továbbá a következő azonosságok: A(B + c) = AB + AC (baloldali disztributivítás); (A + B)C = AC + BC (jobb oldali disztributivítás); ,1(AB) = (,1A)B (vegyes asszociativitás); és (A B)* = BA. szorzása Sorvektor mátrixszal Az a*B szorzat a B sorvektorainak az a lineáris kombinációja, amelyben az egyes sorvektorokhoz tartozó skalárok az a* vektor megfelelő koordinátái. Ha aB mátrix sorvektorait: b*I , b2 , . , b* -rnel jelöljük, az a vektor koordinátái pedig: ([ 1, al, . , a/l" akkor l/l Az Jn . Il tipusú A mátrixot balról megszorozhatjuk az nl komponensű 50rvektorral (1 . III típusú mátrixszal) és

az eredmény egy n kornponensű sorvektor lesz (1 II tipusú mátrix) Jegyezzük meg, hogy az ei*A szorzat eredménye az A matrix i-edik sotvekto ra, hiszen a többi sorvektor a' = [1; 2] és B=G 2 5 akkor a fentiek értelmében: [1; 2]{1 2 2 ~] = 1· [1; 5 J' -, Alkaltnas tehát kiválaszthatjuk szorzat eredménye egyenlő az A matrix összes elelllének az összegével. Mátrix oszlopvektorral szorzása Az Ab szorzat az A oszlopvektorainak az a lineáris kornbinációja, amelyben az egyes oszlopvektorokhoz tartozó sk al árok a b vektor megfelelő koordinátái. Ha az A matrix oszlopvektorait al; a2; . , a/l-nel jelöljük, a b vektor koordinátái ~J Ab = al b, + a2bl+ . + aJ)/I' Legyen 12; 14 ] A Természetesen akkor is ugyanehhez az eredményhez szorzásának definiciója szerint járunk el, azaz: fl; 2 O]= 2]. [~ 5 7 1·2 + 2 ·5; [1. 1+ 2 2; pedig: b.; b2; ; b; akkor 7]= [5; 5; 0]+2·[2; = [~ jutunk, ha a mátrixok és

mátrix szorzásának 1. O + 2 7] = [5; a Falk-sémája a következő: I b A 24 I Ab számokkal 3 0] és 4 5 b akkor a fentiek értelmében: 12; 14]. 2 3 O 4 5 3 1 2 r~ 17 = l:l [~~~]r!l [a3 [!], [~]2 [~7l + = A sorvektorok vesz részt CI lineáris kombiná- egységvektor transzponáltjáva! (balról) való szorzással a matrix megfelelő sorát. Világos, hog)! az 1* A szorzat eredménye az A matrix sorvektorainak az összege, és így az 1*(A 1) = (1 A) 1 cioban. a'~ B = al bl* + a~ b~ + . +al/l b,* Legyen () egyiitthatóval + Természetesen ugyanehhez az eredményhez nak értelmezése szerint járunk el, azaz = j utunk, ha a mátrixok szorzásá- [2 3 o].r;J = [23 ++ 3·1 ++ 02] [9] = 1 4 5 2 1·3 4·1 5·2 17 25 KVANTITATÍV A lineáris algebra alapjai MÓDSZEREK Mátrix és oszlopvektor szorzásának a Falk-sémája Ab 2 3 O 1 4 5 számokkal III . n oszlopvektorral, típusú A mátrixot (azaz II . l tipusú

mátrixszal) dig egy 111 kornponensű oszlopvektor Jegyezzük vektora, megszorozhatjuk 9 letrendszernek 17 Alkalmas egységvektorral a matrix megfelelő min- (jobbrol) Az egyenletrendszert megoldani annyit jelent, mint amelyek kielégítik az Ax = b egyen- lőséget. Ha az M halmaz az üres halmaz, akkor az cgyenletrendszert zisztensnek, ellenkező egyen- esetben konzisztensnek inkon- nevezzük. rendre: vesz részt a lineáris való szorzással így ki- az összege, és így az l*(Al) = (lA)l ménye az A mátrix oszlopvektorainak nevezzük. Az egyenletrendszert azon x vektorok M halmazár. Jelölje az A mátri x oszlopvektorait Világos, hogy az Al szorzat ered- oszlopát. mátrixa. b of:. O esetben inhomogén az A matrix i-edik oszlop- a többi osz/op vektor O egyiitthatóval kombinácioban. választhatjuk és az eredmény (m . l típusú mátrix) lesz meg, hogy az Ae, szorzat eredménye hiszen együttható b = Oesetén homogén

egyenletrendszernek, egy n komponensű jobbról révén tömören így írható: Az A matrix az egyenletrendszer megadni A tetszőleges bevezetése Ax =b. 3 1 2 b A jelölések a következő: Akkor, mint tudjuk, az Ax szorzat az A oszlopvektorainak binációja, tor megfelelő koordinátái, azon lineáris kom- tartozó skalárok amelyben az egyes oszlopvektorokhoz az x vek- azaz amint már tudjuk, egyenlő az A mátrix összes elemének szorzat eredménye, az összegével. Ezért igaz a következő: Lineáris egyenletrendszer felírása matrix szemek A mátri x szorzása esete a lineáris egyenletrendszerek sa, megoldása Az XI; X,; - gyakori előfordulásának (ill. egyenlőtlenség-rendszerek) . ; X; . ; X } /1 a21xI + a22x2 + egyenletek véges halmazát A = + (/ljXj + a2jxj + + + (l1"X" Természetesen = VI a 26 III ([lj a ([22 {/o . -l (1 ]" QIII2 «, felírása mátrix formában esetében, esetében is

alkalmazhatjuk. Például az x.: X2; ; 'lj;"'; nevezzük, tömör kifejezésmódját hanem a lineáris x" ismeretleneket tartalmazó + 012X" + . + ClljX) + + (/I"X" :S; VI a21xI + 022X:. + ,+ ([2jXj + + ([2"." :S; h2 allxl nemcsak a lineáris egyenlőtlenség-rendszerek lll X I legyen az A nuit- egy lineáris kombinaciojakéut. a mátrixuritmctika egyenletrendszerek + a2"x" = v2 lineáris egyenletrendszemek al2 (/~I = b egyenletrend- tartalmazó amely az [ a" rix oszlopvektorainak az, hogya Lineáris egyenlőtlenség-rendszer ismeretleneket + {/12X2 + legyen megoldása megadá- során jelentkezik. al 1.1 lineáris típusú szorzat oszlopvektorral hogy az Ax b vektor előállítható Tétel. Annak sziikséges és elegségesfeltétele formában ali/Il = [~:1 . x " és [ b, b = h2 típusú lineáris egyenlőtlenségek által megadott lineáris egyenlőtlenség-rend'zer

bili 27 KVANTITATív A lineáris algebra alapjai MÓDSZEREK az 5. {/12 alj [ a'l au A = ~ an a,-}. ami ali/2 jelölések «: bevezetésevel G,,, ] Cl:'/I . , ClJ/UI X = [X,].r,x " b, és b= [b'- ] b:" a tömör Ax ::;b alakban írható fel. B) 1. Minden a E V elemhez és A valós számhoz egyértelrnűen hozzá van rendelve a V halmaznak egy A. a-val jelölt eleme, amelyet az a vektor A skalárral vett szorzatának nevezünk 2. A skalárral való szorzás kornrnutativ, azaz A a = a A minden a E V és minden A. valós szám esetén igaz 3. A skalárral való szorzás asszociatív, azaz í(j,t a) = (íJI) a nunden a EVés tetszőleges A., JI valós számok esctéri igaz 4. Minden a E Vesetén igaz, hogy la = a c) 1. 1.2 LINEÁRIS TEHEK (VEKTORTEREK) Ebben a részben ismertetjük a lineáris térrel kapcsolatos alapfogalmak definícióit, továbbá a bevezetett fogalmak közötti kapcsolatokat, összefüggéseket kimondó

alapvető állításokat. Az állításokat megfogalmazó tételeket bizonyítás nélkül közöljük. A lineáris tér (vektortér) fogalma Definíció. Elemek (az úgynevezett vektorok) egy V halmazár a valós számhalmaz feletti lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük, ha rendelkezik a következő tulajdonságokkal: A) 1. kornmutatív, azaz a + b = b + a minden a, b E Vesetén 2. Az összeadás Igaz. 3. Az összeadás asszociatív, azaz (a + b) + c = a + (b + c) minden a, b, c E V cs etén igaz. V-ben van olyan O-val jelölt zéruselem. hogya + O = el minden a E V esetén igaz. 4. 28 V-ben értelmezve van egy összeadásnak nevezett (+ jellel jelölt) művelct, azaz a V-beli elemekből képzett bármely (a; b) párhoz egyértelműen hozzá van rendelve az a és b összegének nevezett szintén Vbeli a + belem. Minden a E V elemnek van úgynevezett ellentett je, azaz minden a E V-hez található olyan (-a) E V, amelyre a + (-a) = O 2. A skalárral való

szorzás a skalár összeadásra nézve disztributiv, azaz (A. + ft) a = í a + JI a minden a EVés tetszőleges A ,fl valós számok esetén igaz A skalárral való szorzás a V-beli összeadásra nézve disztributív, azaz A. (a + b) = A a + A b minden a, bEV és tetszőleges A valós szám esetén igaz. Például az Ill' 11tipusú mátrixok M(III; ll) halmaza lineáris teret alkot a valós számok felett (Ill. n rögzitett) Az összeadást és a skalárral való szorzást végezzük elemenként, ahogy azt a mátrixok körében definiáltuk. A lineáris tér axiómáinak teljesülésének könnyen elvégezhető igazolását az olvasóra hagyjuk. Speciálisan az II elemű oszlop vektorok VII (sorvektorok V,,') halmaza szintén lineáris teret alkot a valós számok felett. AItér, lineáris kombináció, gClledtolTelldszcr A továbbiakban lineáris tér (vektortér) kifejezés alatt mindig a valós számok halmaza feletti lineáris teret (vektorteret) fogunk érteni.

Definíció. Egy V vektortér valamely W (ncm üres) részhalmazát a V vektortér egyalterének nevezzük, ha vektorteret alkot a V-ben értelmezett műveletekre nézve 29 KVANTiTATÍV A lineáris algebra alapja, MÓDSZEREK Például könnyen belátható, hogya V3 vektortér azon vektorainak za, amelyeknek a 3. komponense O egyalteret alkot Vrban Tétel, Egy valamely V vektortér nem iires W részhalll/aza akkor alter; ha zárt a V-ben definiált összeadásra zásra nézve. Tétel. Tetszőleges V vektortérnek valall/int Ezen kél vektor összes lineáris kornbinációinak akkor és a skalárokkal altere önmaga, W halma- és csak valo szor- az egyedill a O vektorból állo részhalmaza. Ezeket triviális altereknek nevezik Az öszszes többi altér neve valódi altér A O vektorból álló alteret Iluliatérnek is mondjuk, A mátrixok esetén bevezetett lineáris kombináció fogaI mát tetszőleges vektorterek elemei esetén is értelmezhetjük a

következő módon: Definíció. Egy V vektortér al; a2; -; ak vektorainak lineáris kornbinációin értj ük az összes Ala I + A2a2 + . + Aka k alakú vektort, ahol Al; A2;"'; Ak tetszőleges skalárok. Az üres vektorhalmaz tartozik. lineáris kombinációi közé egyetlen vektor, a O vektor, A definícióban nem tettük fel, hogy a szereplő vektorok különbözőek. Beszélhetünk például az a, a, 2a vektorok lineáris kombinációiról Ha a vektorok kölönbözőségét nem kívánjuk meg, akkor vektorrendszerről beszélünk. Definíció. A Ala I + A2a2 + + Akak lineáris kombinációt az al; a2; ·; ak vektorok konvex lineáris kombinációjának nevezzük, ha a benne szereplő skalárok nem negatívak, és az összegük 1. k ( Aj 2: O és L Aj = 1.) i tetszőleges V-hen egyalteret az al; a2;···; I g.l " ~I:. 30 al; a2;···; ak vektorrendszer ak vektorainak ~j tipusú vektorokból álló halmaz, ahol x és y tetszőleges valós

számok. Mivel Wegy altér V3 -ban, így az CI és Cl által generált altér W. Definíció. Az al; a: -: ak vektorrenc!szert a fl vektortér véges generatorrendszerének nevezzük, ha az általuk generált alter megegyezik V-vci Példá ul Vrbó I ki vá laszt va az c, +l lJ +1 e, = és c, vektor o kal az ezek által generált altér maga a fl3 tér lesz. Lineáris függetlenség és összefüggés Deflnícíó. A fl vektortér al; a 2;"'; ak vektorait lineárisan fiiggetlcnekncv; nevezzük, ha lineáris kornbinációjukként a O vektor csak trivialis módon állítható elő, azaz ha a egyenlőség csak A = A2 = . = Ak = O esetén teljesűl A V vektortér al; a2; . ·; ak vektorait lineárisan összejiiggőknek (nem Figgetleneknek) nevezzük, ha lineáris kombinációjukként a O vektor nemcsak triviális módon állítható elő, azaz ha találhatók olyan Al; A2;'" ;Ak skalárok, amelyek közül legalább egy nem O, és a összes lineáris kom-

Azt mondjuk, által generált altere V-nek. - jelölje Például tek intsűk a V3 vektortér i r = I Tétel. A V vektortér binácioi W halmaza az e, ezt W - alkotnak. = l~j l~j és c, = hogy W Alal egyenlőség Például, + A2a2 + . + Akak = O teljesü!. a V3 vektortér escten az a, = l~l = r~j l~1 n, és a, = vektorokból vekto rai t a O vektor csak triviális móc!on állítható elő, így ezek egy lineárisan független vektorrendszert alkotnak. 31 KVANTiTATív MÓDSZEREK A lineáris algebra alapjai Tétel. Egy vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összejL'iggő, ha vall olyan eleme, amely eláállithatá a többi elem lineáris kombináciojaként. Az előző példa könnyen általánosítható a Vn (n>2) vektorterre. Világos, hogy az 100 O Bázis I el = O és dimenzió A vektortér egy lineárisan független generátorrendszerót bázisnak nevezzük. al; a2;···; a" elemekből Deflníció. c2 = O .: ",c" O

álló O O = o vektorok Vn-ben bázist alkotnak, a Jin tér 1 X1 X2 Tétel. Egy vektortér al; a2;···; a" elemei akkor és csak akkor lllkalnak bázist, ha a vektortér tetszőleges a vektora egyértelmiren előállítható az al: a2:-··; a" vektorok lineáris kombinációjaként. dimenziója Legyen B = {a 1; a2;···; a} a V vektortér egy bázisa. A tér egy tetszőleges a vektorának a= Alal A a Aka" előállításában szereplő Al; ~; . ';A" skalárokat az a vektor B = {al; a2;···; a" } bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük. x1 I O O x2 O I O Definíció. + 2 2 + . + Bármely vektortérben a bázist alkotó vektorok száma egyértelműen meg V([11 határozva. . Tétel. Dcfiuíció. Azt moudjuk, hogya V vektortér dill/ellziója II, ha V-nek van II elemű bázisa. A nullatér dimenziója OA V vektortér dimenziója végtelen, ha V-nek nincs véges sok elemből álló bázisa. Tétel. Az 11 dimenziós V

vektortér Wa/terének tn dimenziójára igaz, hogy m:S:n. Például: tekintsük risan függetlenek a V2 vektortér CI és V} tetszőleges = [~J [~J x= és Cl = [:J vektorait, és tetszőleges x = j=1 O X " O csctén: " = L,xjc;. = XI O + x2 O +···+X" x= E V:, vektor O 1 1.3 MÁ TRIXARITMETIKAI PÉLDÁK 1.1 példa J3 ezek lineá- 8 vektorok eseten szárnitsuk ki az a + II és -2 vektora esetén teljesűl, hogy X=XI[~]+X2[~]=[~~+x~]=[:~J Tehát az el és c} vektorok bázist alkotnak Vrben és így V2 dunenzrója egyenlő 2-vel. 32 egyenlő »-ncl 2 a c - b vektorokat! Megoldás. Az adott vektorok mindegyike 4 dimenziós oszlopvektor, így a kívánt összeadás, ill. ki vonás elvégezhető Az összeadást, ill a kivonást elemenként (komponensenként) végezzük a következőképpen: 33 KVANTITATiv a+ MÓDSZEREK A lineáris algebra alapjai [Ol 2+21 .fi - 2 .fi - 2 R-O R h 3: ~ ~) = ~ cs c - h ~ -2-(-1) = [

1+(-3) -2 1.3 példa (a) Számítsuk -1 2-(-3) b, 5 A = [; -~ I I ~1 ° -~ és B = [~ -; ~ -1 -2 4 5 r 2 O -3 -1 1 1 O 5 [4+5 = 2+3 1+(-1) ~1· ° +J b, =r~l 4 3H5 -3 O 7 I 21 -2 4 O 0+3 -1 0+(-3) -1 + 7 -3+0 4+ 1 1+ (-2) 0+4 r (b) Számitsuk Al = [4-5 = ?-3 1- (-1) -2 ° 5 I 0 [9 + 12+ 15+ 41 [ -1 = 15 + 2 + -1 = 16 1 ° -6-10+0+1 -15 ki azt a mátrixot, amely az [-13 2]5' 1 A2 = [ 2 - 2 A) = [ 3 - 1] O ' ~] mátrixoknak képzett lineáris kornbinációjal 2·2 = 5 5+0 -3 6 -3 5 -1 4 ;1 1.4 példa A{ ° 4 -1 2 3 O -3 1 4 Legyen = -1 képzett lineáris kornbinációja! Megoldás. Az adott típusú Al, Al, A) matrixokat rendre megszorozzuk a megfelelő A" Al, AJ skalárokkal, majd a nyert szorzatokat összeadjuk. -~~1-[~ ; ~~1 ° ° 5 -2 a Al = 5; .12 = O; AJ = -2 skalárokkal 3 = 3+21 [9 ° 0+3 =r-}ektoroknak a b, b = 3bl - 2b} + 5b3 + Ib4 = 3 531 - 2[--161 + 5 [31 O +

I [41 -1 és 34 b, Megoldás. Az adott azonos mérctű b, b2, b), b4 vektorokat rendre mcgszorozzuk a megfelelő Al, Al, A), A4 skalárokkal, majd a nyert szorzatokat összeadjuk: Szárnitsuk ki az A + B összeget és az A - B különbséget! Megoldás. Mivel két 111 11 típusú A = [ajj] és B = [bjj] mátrix összegén, ill különbségén azt az m . Il-es C = [Cjj] mátrixot értjük, amelynek minden elemére igaz, hogy: Cjj = ajj + bjj, ill Cjj = ajj - bjj Ezért az összeadást ill a kivonást clemenként végezzük az [aij] + [bjJ = [ajj + bjj] ill. az [ajJ - [bjj] = [ajj - bjj] képletnek megfelelően. Így A+B= =r-~J Al = 3; A2 = -2; A) = 5; A2 = 1; skalárokkal 1.2 példa Legyen ki azt a b vektort, amely a 'lY') 4 0-(-3) -1-7 -8 4-1 3-21 [-1 3 -3-0 O-3 = -1 -3 3 1 - (-2) O-4 5-O 2 3 -4 :1 -5 U=[: és ",,,4 2 O 3 2 -I 6 O -11 °. 7 Szarnitsuk ki az A . B szorzutnak megfelelő C, majd aB· A szorzntnak megfelelő D

mátrixot! Megoldás. Két mátrix szorzatát csak abban az esetben számíthatjuk, hu az adott sorrendben konformábilisek, azaz az első tényező oszlopvektorainak száma egyenlő a második tényező sorvektorainak számával. Ez a feltétel 35 KVANTITATív MÓDSZEREK A lineáris algebra alapjai most teljesül és így a szorzás elvégezhető. szerint felírva: 3 A 4 O 2 -3 I -1 O Tehát AB = C = [ 22 12 12 -13 Majd a BA szorzatot 4 O 5 2 2 6 22 -22 12 24 12 22 -13 O -5 4 3 I -22 5 24 3 22 -5 -381 27 22 . O 3 7 a Falk-séma Az AB szorzatot a Falk-séma B 3 -1 -1 O O 7 5 -38 3 27 22 -5 3 7 AB =C. 1.4 GAZDASÁGI FELADATOK MEGOLDÁSA MÁ TRIXARITMETIKÁ VAL A szállítási mátrix A szállítási mátrixot olyan esetekben készítik el, ha több raktárban tárolnak termékeket és ezeket több rendeltetési helyre kell kiszállítani. Gyakran az egyszerű termékek (pl. burgonya, káposzta, alma srb) szállításával kapcsolatban készítik el a

szállítási mátrixot A mátrixban a fajlagos szállítási költségeket tüntetik fel, vagyis azt, hogy az áru egy egységének (pl l tonna) elszállítása mennyibe kerül. 1.5 példa szerint kiszámítva: Tekintsük azt az esetet, amikor négy raktárból (RI, R2, R3' R) három rendeltetési helyre (Hi> H2' HJ) kell szállítani! Az RI, R2' R3, R4 raktárak mindegyikben csak egyfajta termék van, de mindegyikben más és más termék. Például az Rj-ben burgonyát, az Rrben káposztát, az Rrban almát és az Rr ben spárgát tárolnak. A tonnánkénti szállítási költségeket ezer Ft-ban az alábbi táblázat tartalmazza: A I~ B 4 5 2 O 2 6 3 -1 O -1 O 7 4 -5 I O 4 -1 2 3 O -3 I 9 25 -22 18 18 -12 12 -13 21 RI R2 Rj R4 =fl: Hj 21 20 12 15 13 18 I7 16 22 19 13 19 alkotják az A, ún. szállítási mátrixot: 21 20 181 19 12 17 13 15 16 . 25 18 12 -13 -22j -12 adódik. 21 Látjuk, hogy az AB szorzat nem egyenlő a BA szorzattal.

Tudjuk, hogy ez általában így van, a mátrixok szorzása nem kommutatív művclct. 36 H2 BA =D, Ezek a számadatok azaz BA = ~ HI Raktár 3 A = [ j9 13 22 Például a harmadik sor második eleme: 15 aztjelenti, hogy egy tonna almának az Rj-as raktározási helyről a Hres szállítási helyre való szállítása 15 ezer Ft-ba kerül. 37 KVANTiTATÍV MÓDSZEREK il lineáris algebra alapjai Legyen az egyes termékek felvásárlási tonnánként. Ebből képezzük a ára rendre 52, 40, 39, 58 ezer Ft (c) szállítottak el a T2 telephelyről. (d) vásárolt Göteborg; (e) exportáltak összesen? 52 B = 40 52 40 52] 40 Megoldás. [ 39 58 39 39 Az adott szállítási 58 58 meg. A mátrix minden sorához tartozik egy feladóhely ~:1átri~ot., A ~ajlagos szállítási osszkoltsegmatnxot megkapjuk és felvásárlási költségek összegéből álló ha kiszámít juk az A és B mátri x összegét. egy 3 . 4-es A mátri x segítségével programot

adhat juk (rendre: aT 1, a T 2, és a T3 telephely), és minden oszlopához tartozik egy rendeltetési hely (rendre: Göteborg, Malmö, Stockholm és Uppsala). Megállapodunk abban, hogy az r-edik sor j-edik eleme azt fogja mutatni, hogy hány kg mézet szállítottak az i-edik telephelyről A + B 72 52 54 70j 57 55 77 71 80 = 73 59 52 [ aj-edik A (a) Az egyes telephelyekről komponensei kg-ban: Egy külkereskedelmi (c) A T2 telephelyről: MalmőA méz szúllítúsa három telep- városba Göteborgba, be, St,~ck~oln:ha és Uppsalába rnézct exponált. helyről (1" 12, T3) történt a következő bontásban. hely O 295 O O 250 mennyiségeket A· 1 = [585, 475, 415f. az l' . A sorvektor vásárlását (d) Göteborg: adják i' .A· el = 430 kg mézet vásárolt I" . A·} = 1475 kg volt Elszállított méz A technológiai mátrix Göteborg TI Malmő 160 kg 1.7 példa TI Stockholm 175 kg T2 T2 Tekintsünk Göteborg 180 kg

és Ts) gyárt. A gyártáshoz Stockholm 295 kg Az üzemi adatok szerint a termékegységre T3 Stockholm 250 kg alábbi táblázat muratja: T3 Uppsala 165 kg rendre az egyes svéd városok; komponensei e; . A·1 = 475 kg mézet szállítottak el TI (b) importáltak az A . loszlopvektor (e) A teljes mézexport: 250 kg Határa,zz,uk meg mátrixalgebrai eszközökkel, hogy hány kg niézet (a) szállitouak el rendre az egyes tclephelyckről; 38 180 1'· A= [430,160,720,165]. 1.6 példa Rendeltetési 175 elszállítandó adják (kg-ban): (b) Az egyes városok Feladóhely 160 = 250 [ A~ A, és, B m,á:rixok ismerete szükséges ahhoz, hogy a lehető legkevesebb koltsegrafordltassallehessen fedezni a raktározási helyek készleteiból ,, . a sza'IIítasi helyek szükségleteit. vállalat négy svédországi városba. Erőforrás jele egy üzemet, amely 5-féle tennéket háromféle (jelölje ezeket: TI' T2' T3' T4 erőforrás:

EI, E2 és E3 áll rendelkezésre. eső ráfordításokat ezer Ft-ban az Termék iele E1 TI 3 T2 2 T3 O T4 4 E2 4 3 1 2 TI 5 2 E} 1 2 4 O 3 39 KVANTlTATiv MÓDSZEREK Ezek a számadatok A lineáris algebra alapjai alkotják a T ún. technológiai T = [: ~ 4 3 = [3; 8; 5]· ~ ~ : a" ·T ~l ~ ; 1 2 mátrixot: ~ [ ~] = [46; 40; 28; 28; 46] O 3J Ha az üzemnek a TI> T2, T3, T4, Ts termékből rendre 50, 30, 10, 40, 80 egységnyit kell előállítania, akkor ezt a programot a 1.8 példa, Egy vállalat három üzemeben féle erőforrás p = [50; 30; 10; 40; 80]* (E I ' E2 és EJ) 4-féle termeket (T I ' T 2 ' T 3 és T 4 ) gyárt, 3felhasználásával. Ismertek a következő táblá- zatok adatai. az ún. programvektorral oszlopvektorral, termelési program tásban. Tehát: adjuk meg. A Tp szorzat az adott szükségletét nyersanyag mutatja erőforrások szerinti bon- A tennelés megoszlása az üzemek között

50 30 10 770] 540 . = [ 40 1. üzem 2. üzem 3. üzem 390 80 A rendelkezésre álló erőforrások kapacitásait tartalmazó k = [800,560,400]* oszlopvektort kapaclrésvcktornak szokás nevezni. Csak azon termelési kielégítik a Tp programok realizálhatók, Egyik crőforrús amelyek tekintetében lában több ilyen program szerűbbet, amivel sem léphetünk is lehetséges. az optimum Az egyes erőforrások egységárait kell kiválasztani foglalkozik. program szerinti termelés végrehajtható, tása nagyobb, mint a szükséglet. ISO 400 100 350 200 100 T~ 410 520 200 erőforrás-felhasználása :5 k egyenlőtlenséget. túl a kapacitáskorlátokon. Ilyenkor számítás Az üzemek TI 300 250 500 A termelés mennyiségc (természetes mértékegyséuben) TJ T2 a legcél- Esetünkben mert mindegyik ÁltaErőforrás az előírt erőforrás EI E2 kapaci- E) (itt most ezer Ft-ban) tartalmazó Erőforrásokból felhasznált mcnnyiség

(természetes mértékegységben) 1. üzem 2. üzem 3. üzem 80 90 100 60 45 65 SO 30 60 sorvektor: a*=[3;8;5] Egységárak az ún. árvcktor Az előírt termelési program zatból határozható [770] meg, azaz: a'·T.p = [3; 8; anyagköltsége az a*Tp szor- = 8580.ezerFt 5]·540 390 A fajlagos 40 anyagköltséget (termékenként rendre) az a*T szorzat adja: Az erőforrás egységára (ezer Ft) A termék egységára (ezer Ft) I TI 2 EI 2 T2 1,5 E2 1 T3 3 EJ 3 T4 4 41 KVANTITATiv MÓDSZEREK A kiindulási adatok könnyen A lineáris algebra alapjai kezelhetővé válnak, ha azokat megfelelő Megoldás. mát- rixok, ill. vektorok alakjában írjuk fel A táblázatokba foglalt adatok által meghatározott mátrixokat és vektorokat a kővctkczőkóppcu vezetjük be. Legyen T = ki]= 300 250 400 100 150 200 4101 520 a tennelés megoszlásának [ 500 350 100 200 (a) A készárutermelést mátrix sorainak t·=1*T=[I; mátrixa,

termékfajránkénti ősszcgzcscvcl 1; 300 400 150 410 1] 250 [ 500 100 200 520 350 100 2001 (b) Az erőforrásonkénti ahol tjdelenti az Í-edik üzemben 80 Legyen F= aj-edik [fJ = 60 90 45 1001 65 a felhasználási 50 30 60 [ ahol fjjjelenti az Í-edik erőforrásból Továbbá legyen és b = [2; termekből a = [2; 1,5; 3, termélt mennyiséget. erőforrás-felhasználást nálási mátrix oszlopainak mátrix, összegzésévei f = F .1 = aj-edik üzemben felhasznált mennyiséget. 1; 3 J az erőforrások 4J a termékek egységárvektora egységárvektora. és speciális vektorok segítsége révén adjunk választ a következő (a) Mennyi a vállalat készárutermelése (természetes rnértékcgységben)? (b) Mennyi mészetes (c) Mennyi a vállalat összes erőforrás-felhasználása kérdésekre! A = T(b) = [250 500 100 350 200 100 520 és egyben (c2) termékfajtánként összesen, (c3) üzemenként I 130]. megadá f

vektort a felhasz- kapjuk meg: tel vektorát 2 O O O] 1~ 200 Ce2) Az A mátrix sorvektorait az árbevétel: (c 1) termékfajtánként 450; bernutató A mát- kell szorozni Ci = 1, 2, 3, 4), azaz: 410 (ter- 850; és egyben üzemenként ISO erőforrásonként = [1050, rendre a T matrix i-edik oszlopát az i-edik termék egy- 400 mértékegységben)? T termékfajtánként 300 termékfajtánként ti rix kiszámításához mátrixok azaz a T, F, a, b valamint diagonális t* vektor (el) Az árbevételt ségárával módszerek, megadó 80 90 60 45 100jl'j 65 1 = l270j 170 . l50 30 60 1 140 Feladat: Mátrixaritmetikai bontásban adódik: O 600 600 450 1640 I~~ ~ ~ = [ 500 1000 O O 4 150 525 600 300 20801 800 összegezve a termékfajtánkénti összes árbcvé- kapjuk: 600 600 500 150 450 600 16401 2080 = 1000 525 300 800 üzemenként. 1*A = I'T(b) = [1; 1; 1] [ összesen, (c4) összesen? (d) Mennyi a közvetlen (d 1)

erőforrásonként és egyben üzemenként, (d2) erőforrásonként összesen, (d3) üzemenként (d4) összesen? 42 = [2100; költség: összesen, I (e3) Az A mátrix tel vektorát II 1350; oszlopvektorait 4520] összegezve az üzcmenkénti összes árbevc- kapjuk: I I 1275; 600 Al=T(b)l= 600 450 1640 1] 500 ISO 600 2080]: [ 1000 525 300 800 [ 1 3290 J3330j . l2625 43 KVANTiTATÍV A lineáris algebra alapjai MÓDSZEREK (c4) Az A mátrix valamennyi elemet összeadva az összes árbevételt kapjuk: Évek 329°1 1; 1]3330 =9245 (eFt.) [ 2625 l'Al=l'T(b)l=[l; (CI 1) A közvetlen lll. bontásban: 200~ 65 . 180 (d2) A közvetlen költség erőforrásonként összesen: 160 180 200j[11 [540j (a)Fl = 60 45 65 1 = 170 . [ 150 90 180 1 420 (d3) A közvetlen költség üzemenként 160 r' (a)F = [1; 1; 1] 60 [ ISO összesen: 180 200~ 45 65 = [370; 315; 90 445]. 180 (d4) A közvetlen költség összesen: f(a)F.l~r370; 315;

445{:j~1l30 (partnerek) J. . 2. 11. 2. Í. és egyben üzemenkénti Külföldi cégek 1. (d) A kőzvctlen költségre vonatkozó kérdések válaszait is hasonló gondolatmenet alapján adhat juk meg. költség erőforrásonkénti 1. (cFi). (/ . lj Írjuk fel matrixaritmetikai jelölésekkel. (a) a 8. partnerrel a vizsgált időszakban lebonyolított forgalom ősszcrtékét: (b) az utolsó két év forgaimát partnerenként részletezve és összesen; (c) az egy év alatt egy partnerrel lebonyolított forgalom átlagos nagyságát' Megoldás. Jelöljük a táblázat forgalmi mátrixát A-val, azaz A = [ajJ egy 111 • II-CS mátrix. (a) A 8. partnerrel lebonyolított összforgalmat megkapjuk ha az A mátri x 8 oszlopának adatait összegezzük. A 8 oszlopot kiválaszthatjuk a mátrixból, ha azt egy olyan egységvektorral szorozzuk jobbról, amelynek 8. komponense az 1 Az eredményül kapolt oszlopvektor elemeit egy összegző sorvektorral való skaláris szorzás

segítségével összegezzük: 1*(Acg). Természetesen (1 * A)cx sorrendben is számolhatunk; itt 1 A az egyes partnerekkellebonyolított összforgalmakat tartalmazó vektor; az cs-caI való szorzás ebből választja ki a 8. komponenst (b) A mátrix utolsó két sorának összegét kell előálliranunk: [e'" + e* ] . A n Az utolsó két év összforgalma a kapott vektor elemeinek összegezésévei nyerhető: [e* +c]·A·1. 11-1 A forgalmi mátrix ,,-1 lJ 1.9 példa Egy külkereskedelmi vállalat II (Il :s 8) kűl földi céggel tart fenn állandó piaci kapcsolatot. Az utolsó 111 (m :s 2) év forgalmi adatait a következő táblázat tartalmazza, amelynek i-edik sorában aj-edik elem, (vagyis Cli') azt adja meg, hogy az i-edik évben a j-edik partnerrel mekkora forgalmát bonyolított le a vállalat. 44 (c) A mátri x elemeinek összegét kell osztanunk az évek és a partnerek számával: 1 (l*Al). m-n 45 KVANTITATÍV MÓDSZEREK A lineáris algebra

alapjai 1.10 példa Alkatrész jele Egy vállalatnak a tavalyi évben 263 alkalmazottja volt. Legyen D = [djJ az a mátrix, amelynek djj eleme azt mutatja, hogy a vállalat í-edik dolgozójának mennyi volt a keresete az elmúlt év j-edik hónapjában, továbbá legyen III = [mk] az a 12 elemű vektor, amelynek elemei rendre az egyes hónapok munkanapjainak számát adják meg (feltesszük, hogya tavalyi év folyamán a letszámot illetően scm felvétel, sem kilépés a vállalatnál nem volt). Írjuk fel mátrixalgebrai jelölésekkel, hogy mennyi volt: (a) a dolgozók június havi összkeresete, (b) az egy dolgozóra jutó átlagos évi kereset, (c) az egy dolgozóra j utó átlagos havi kereset, (d) az egy dolgozóra jutó átlagos numkanapi kereset az egész évi adatok alapján, (c) a vállaluutál kifizetett összbénnennyiség a harmadik ncgyedévbcn, (f) a dolgozók május havi átlagkeresete, (g) az egy dolgozóra jutó átlagos munkanapi kereset a második negyedévben?

Megoldás. (a) 1* . D· e 6, (b) r ·0·1 263 (d) (f) r ·D·1 I" . ITI' 263 1'·0·e5 263 (c) r ·0·1 jele Al 3 A2 VI V2 2 O VJ 1 V4 O 3 5 Az egyes alkatrészek I.' ·B·(ej + c5 + er,) , 111 ·(e.j + es + e(,)· 263 2 2 6 4 3 O I 4 3 időszakra vonat- Megoldás. Legyen a = [3, 2,1; 2; 1,4; 1]' az alkatrészek beszerzési egységárvektora és p = [50; 70; 32; 20)' a termelés programvektora! 3 6 2 O 2 2 O 3 2 6 1 3 4 3 O O 5 4 3 (e) 1* . D (e, + Cs + e9); (g) As O Feladat. Határozza meg mátrixaritmetikával, a megfigyelt kozóan, a következőkct: (a) Mekkora a termékek fajlagos alkatrészkőltsége? (b) Az egyes alkatrészekből hány db-ot kell importálni? (c) Mennyi a teljes importköltség? 'Továbbá legyen A = [aJ= , A4 AJ 2 3 6 beszerzési ára rendre: 3; 2, 1; 2; 1,4; I ezer Ft/db. 12·263 ' Lll példa. Egy üzemben importból beszerzett 5-féle alkatrészből 4-fajta

végtermeket szerel nek össze. Egy megfigyelt időszak alatt a VI termékből 50, a V2 termékből 70, a V3 termekből 32, a V4 termekből 20 egységet állítanak elő A! egyes termékek fajlagos alkatrész-szükségletét a kövctkező táblázat mutatja: 46 Végtermék j az alkatrész felhasználás mátrixa, ahol ajj jelenti az i-edik termék előállítása használt darabszámot. során aj-edik (a) A termékek fajlagos alkatrészköltsége: Aa , Aa= 3 2 6O 32 O2 21: 1 6 1 3 4 3 O 5 I 4 3 ° fel- 27,61 20,8 2 = 21,5 . 1,4 21,1 I alkatrészből 47 KVANTITATív MÓDSZEREK A lineáris algebra alapjai (b) Az alkatrész-szükséglet • Il A = [50; 70; 32, vektora: p'A , (b) 3 6 2 O 2] 20326 20] 1 O 343 O 5 = [322; 496, 451; 316, A= 580] 143 (c) p"A . a = ll' Aa Cc) A teljes importköltség: Adja össze a következő mátrixokat: -2 -5 3 3 -8 3 4 2 1 O O2 ] -3 1 -3 5 2 5 I -6 O 8 -1 -2 O

O -b O -<1 -b O 2a O O O -a a Af 1.1 (d) Adja össze a következő , c= ' J -2] -1 O - 1 O 7 -3 . 9 - 1 -5 mátrixokat: Adja össze a következő -1 1.5 FELADATOK B= 3 n"[~ a O O -b -1 a O O -b b 1 O O Legyen - J ? 5] B= O 2 -2 . O 3 vektorokat: és [ O Milyen speciális matrix az A, a B, az A + B és a B - A ? (b) 1.2 (a) a = [7; 2; -3]*; b = [-1; O; 0,5]; Legyen X" [~ Számítsa 48 JO -1 -3 14 1 O ki az X + Y összeget 1.3 c = [3; -3; 2,5]*. JI v, [ -3 3 O -1 -2 és az Y - X különbséget! O - 2] I 3 -4 O . Írja fel a következő (b) lineáris kombinációk vektort: 4a -2b +5c, ha a* = [1; -1; 5; -2]; Cc) által meghatározott -2a +3b -5c - 3d, ha b* = [O; 3; -1; 5]; c* = [1; O; -1; O]. KVANTITATÍV 1.4 M6DSZEREK A lineáris algebra alapjai Írja fel a következő lineáris kombinációk (a) által meghatározott mátrixot: 1.7 3A-Sil-C,ha Mivel egyenlő

Ca) x*·A·y,ha - 2 3 O 5] A = 30 2 -6 [ O 5 -1 (b) ~1 tl 2 A=[~ 3 4 -2 O 1 -1 O O O -S mátrix-vektor szorzásokat: [2 7 O 4 ' 1 -2 ll= ~ Végezze el a következő (a) ° - 1-' Y- [0] 2 . -51 ' -SA +3 -3C, ha 8 1.5 4] x- [ ,--/ 6 , O -1 1 3 4 2 5 - 1 c= :2 O - 1 -~J[-n [-~ :;]Fl· [2 Igazolja az ismert!' (a) = a' és (a)1 = a azonosságole teljesülését az (c) a 1.8 {1 vektor eseten. Határozza meg a következő szorzalnak megfelelő mátrixot: -2 (b) O 4 1.6 Végezze el a következő [-3' , 7', 5', 50 3; - 1 (b) O 5 9 [8; = [ ~ ~ ~:~ -3]. ?- O [ (b) A l =l H II ~,3 vektor-mátri x szorzásokat: O (a) A· B és B . A, ahol (a) :2 X = X' Y és Y . X, ahol 2 3 -5] 1 -1 O 2 3 O [ 4 -1 2 ' y o 8 5 - 1 -2] =[~ °2 O ~ . -1; 51 KVANTITATÍV (c) MÓDSZEREK A lineáris algebra alapjai Igazolja a mátrixok szorzásának B) . C = A (B

C)] a következő asszociativitását [azaz, hogy (A . mátrixok esetén: B = [O -2 2 9] 4 5 O 3 ' c ~ :~ ~ O (d) O ~l! II = teljesülését a l-~ ;!j .: jele EI 2 Igazolja az ismert (A . B)* = B . A * azonosság következő mátrixok esetén: Az erőforrás O Az erőforrások A termék jele TI --I E2 E3 Gyártondó 2 4 mennviség: 100 T2 ~--O 2 6 T3 4 3 O 90 130 ----- T4 5 O TS 2 I 3 2 150 50 egységára .- S 10 15 Számítsa ki mátrixarirmctika segitségével: (a) Mennyi a termékek fajlagos crőforrásköltsége? (b) Mennyi a termelési program crőforrús-szükséglcrc (erőforrásonként részletezve)? (c) Mennyibe kerül az adott termelési program erőforrás-szükséglctc? 1.12 A "Hunimpex" külkereskedelmi vállalat az elmúlt gazdasági évben tíz külföldi céggel (partnerrel) tartott fenn állandó piaci kapcsolatot. Az év forgalmi adatait az F = [fjj] matrix tartalmazza, amelynek f eleme azt adja meg (alkalmas

rnértékegységben), hogy az r-edik hónapban a j-edik partnerrel mekkora forgalmat bonyolított le a vállalat. Számusuk (e) a* Mb; ki a kövctkező szorzatokar: (b) 1* MI; (c) l*bal; (d) b* Ml; (f) b* Ma; (g) ba* 11; (h) Mba*. 1.10 Az egyik főiskola nappali első évfolyamán 6 tárgyból vizsgázott 351 hallgató. Jelentse az A = [ajj] mátrix ajj eleme az i-edik hallgatónak aj-edik tantárgyból elért vizsgajegyét. Írja fel mátrixaritmetikai jelölésekkel: (a) az évfolyamnak az 5. tantárgyból elért átlagár; (a) a 4. hallgató vizsgajegyeinek átlagát; (b) az évfolyam vizsgajegyeinek átlagát! 1.11 Egy üzem 3 erőforrás segítségével ötféle termeket állít elő A termékegységre vonatkozó ráfordításokat, az erőforrások egységárait (ef t-ban), valamint az egyes termékekből gyártandó mennyiségeket (db-ban) a következő táblázat mutatja. 52 Írja fel matrixaritmetikai jelölésekkel a következőket! (a) A k-adik céggel

lebonyolított havi forgalmak vektora, (1 :S:k :S:10). (b) A k-adik céggel az elmúlt évben lebonyolított összforgalom, (l:S:k:S:lO). (c) A p-edik hónap forgalma partnerenként részletezve, (J :s: p :s: 12) . (d) A p-edik hónap összforgalrna, (1:S: P :s:12). (e) Az utolsó negyedév forgalma partnerenként részletezve. (f) Az utolsó negyedév osszforgalma. (g) Egy hónap alatt egy céggel lebonyolított forgalom átlagos nagysága 1.13 A Dunagép KFT" egyik üzemeben ll-féle erőforrás felhasználásával m-féle végtermeket gyártanak. Az F = [fjj] mátri x fjj eleme jelenti, hogy ajedik végtermék egy egységének előállitásához felhasznált i-edik erőforrás mennyiségét (természetes mértékegységben). Valamely időszakra vonatkozóan a p vektor komponensei jelentsék rendre az egyes végtermékekből előállítandó rnennyiséget, az a vektor komponensei pedig jelentsék rendre a különböző erőforrások egységárait. Az F, P a, valamint diagonális

mátrixok és speciális vektorok segítségével írja fel a következőket! 53 KVANTiTATÍV MÓDSZEREK A lineáris algebra alapjai (a) A P program erőforrás-szükséglete rásból (l:S;k:S;/l). (b) A P program erőforrásköltsége a k-adik erőforrásból (I:S; k:S; ll). A fajlagos (egységnyi termékre eső) erőforrásköltség termékenként. A q-adik termék egységének erőforrásköltsége erőforrásenként Cc) (d) termékenként a k-adik erőfor- (I:S;q:S;I7l). (e) A q-adik termék erőforrásonkénti szükséglete a p programban (I:S;q:S;/Il). (f) A q-adik termék erőforrásköltsége a p programban 1.16 A Jvlikroelektronika Rt" egy megfigyelt héten tn-féle alapanyag felhasználásávaln-féle termeket gyártott. A T = [tij] technológiai mátrix tij eleme jelenti aj-edik termék egy egységének készítéséhez felhasznált i-edik alapanyag mennyiségét (természetes mértékegységben mérve). Jelentsék a q programvektor komponensei

rendre az egyes termékekből gyártott mennyiséget a megfigyelt héten, az a vektor komponensei rendre a felhasznált alapanyagok egységárait, a b vektor komponensei pedig rendre a termékek eladási egységárain (1 :S; q :S; /Il). Fogalmazza 1.14 Egy üzemben importból beszerzett 5-féle alkatrészből 4-fajta végterméket szerelnek össze. Egy megfigyelt időszak alatt a VI termékből 50, a V2 termékből 70, a V) termékből 32, a V4 termékből 20 egységet állítanak elő. Az egyes termékek fajlagos alkatrész-szükségletét a következő táblázat mutatja: Alkatrész jele Termék jele Al VI V2 Vj V4 A2 6 Aj 2 3 A4 1 3 ° 4 2 3 As 2 6 O ° 5 l 4 3 3 2 ° Az egyes alkatrészek beszerzési ára rendre: 3; 2,1; 2; 1,4; 1 ezer Ft/db. Határozza meg mátrixaritmetikával a megfigyelt időszakra vonatkozóan a következőket: Ca) . Mekkora a termékek fajlagos alkatrészköltsége? Cb) Az egyes alkatrészekből hány db-ot kell importálni? (c) Mennyi a

teljes importköltség ? 1.15 Egy külkereskedelmi vállalat Jn fajta terméket exportál II számú különböző országba Az A mátrix aijeleme jelentse az /-edik termékból aj-edik országban eladott darabszámot. Legyen (I:s; k :s; 11/) és (1 :s; P :s; ll) ! Fogalmazza meg, mit jelentenek a következő kifejezések. (a) e: ·A; (b) e~·A·ep; (c) A· 1. 54 meg, hogy mi a jelentése a következő kifejezeseknek. (a) T(q) ; (d) e~Tq, (I:S; «< 111); (g) a*T; (j) b-M*a. (b) TI; (e) qb ; Cc) Tq; (h) a*Tq; (i) T(a); (f) (q)b; 1.17 Egy vállalat ll-féle végtermeket gyárt 111-féle alapanyag felhasználásával Az A = [ap'!] mátrix apq eleme jelenti, hogy ap-edik végtermék egy egységének előállításához mennyit használtak fel (természetes mértékegységben) a q-adik alapanyagból. Ismert az x programvektor, amelynek komponensei rendre az egyes végtermékekből előállítandó mennyiséget mutatják és adott az alapanyagok egységárait tartalmazó

a vektor is Az A, x, a, valamint diagonális mátrixok és speciális vektorok segítséI ge révén ÍJja fel a következőket! (a) Az x program anyagszükséglete alapanyagonként. (b) Az egyes végtermékek fajlagos anyagköltsége az i-edik alapanyagból(l::::; i« 111). (c) A j-edik végtermék egységének alapanyagköltsége (I::::;.i::::; II) (d) Az x program anyagköltsége: (d 1) alapanyagonként; (d2) végtermékenként, (d3) végtermékenként és egyben alapanyagonként. 1.18 Egy megfigyelt időszakban a "Célgép KFT" egyik gyáregysége II-féle erőforrás felhasználásával 8-féle végterméket gyártott. Az M = [tnij] mátrix Jnijeleme jelenti aj-edik végtermék (1 ::::;j s 8) egy egységének 55 KVANTITATív A lineáris algebra alapjai MÓDSZEREK készítéséhez mészetes ponensei figyelt felhasznált (1:S i :s 11) mennyiségét Í-edik erőforrás mértékegységben mérve). Jelentsék rendre az egyes végtermékekből időszak kom-

gyártott mennyiséget a meg- alatt, az a vektor keruponensei a 1>vektor komponensei egységárait, (ter- a q programvektor 1.6 MEGOLDÁSOK rendre az erőforrások pedig rendre a termékek egység- 1.1 Megoldás: árait! Az M, q, a, b valamint ségével diagonális mátrixok és speciális vektorok 1.2 Megoldás: A q program erőforrás-szükséglete forrásonként részletezve. (b) A q program erőforrás-szükséglete (c) A q program (azaz az időszak) árbevétele. (d) Az időszak (e) A terrnékenkénti (a) árbevétele (f) A termelés (g) A termékenkénti termékféleségenként (erőforrásonkénti termékféleségenkénti fajlagos termelési összköltsége l~1 r -13 1 -Sj rl7 7 -1 lj (a) f2+h] -~,2 ; A termékek 1.19 A műanyag egy egységének termékek gyártására figyelt héten n- féle terméket -3 15 3; végrehajtása -1 -1 -4 5 rész- (b) I 2-féle alapanyag felhasználásá- mátri x mij eleme jelenti az

i-edik ter- mék (1 ~ i ~ n) egy egységének készítéséhez felhasznált j-edik (1 ~ j ~ 12) mennyiségét (természetes mértékegységben Jelentsék a q programvektor ből gyártott mennyiséget rendre a felhasznált komponensei a megfigyelt alapanyagok pedig rendre a termékek (c) A+B== 56 2 3 -13 3; -1 -3 -4 -5 18 -8 -7 , b1 Oa -a 2a - bb' a 1 -a rendre az egyes termékekAz A, B, A + a 2 r O 92j II == O 3 a b vektor komponensei O O - r-4 4 1j és II - A == O 10 O 1 -2 mátrixok O -4 eladási egységárait! meg, hogy mi a jelentése a következő 1.3 Megoldás: f qlM (b) q*M (e) Ma = M(a)l (f) a *Mq , vagy 1a (g) (a).M (h) 1>- Ma, vagy 1>*- aIVI (d) (q)b= = felső háromszögmátrix. kifejezéseknek! (a) (q)M (c) qb bq > -1 O mindegyike Fogalmazza 10 -b mérve), (d) 2 [ aII -b-l alap- héten, az a vektor komponensei egységárait, ,. 11 343 A+B+C== .Plasztik KFT" egy meg- val. Az

M = [miJ technológiai anyag 13 O X-Y== [412 esetén. költség erőforrásonként szakosodott In bontásban. fedezete. gyártott (b) (a) X + Y = 4 letezve. (h) (c) költség. a q program fajlagos termelési és erő- bontásban). FELADATAIHOZ L 6 segít- ÍJja fel a következőket! AZ 1. FEJEZET (1))q = 1>*(q) = q(b) l' Mq (a) r::l 3 . (b) [-IO} (c) r-3-7)51 5 -18 57 KVANTITATív 1.4 1.5 MÓDSZEREK Megoldás: (a) Megoldás: A lineáris algebra uíapjai [6 25 -5 -5 -4 -19 [2: (a) - 28 :j [ 7 (b) -50 -15 - 33 l2] : O -I -1~ -5 27 -7 . l (b) [,:3] Megoldás: (a) [-13; 1.7 Megoldás: (a) 55; 22; 17]; (d) (b)[25; -27; 6; AB = -13]. - 34 8 12 -1 - 21 6 - 40 -5 1; . alapján (AB)*::: IJ~ lO ~ ~l:::[2; 8 fA [-34 8 12 -21 -1 6 -5 12 - 21 - -1 6 -5 O 4J [- 34 r - 3 2 1 . -40] . ' 40] és így (A . B)* = B . A * valóban teljesűl. Megoldás: (a) e, *M 1::: 2, az M

mátrix 3. sorvektorának (b) 1* MI = 5, az M mátri x elemeit komponenseit összegcztük; összegeztűk; Megoldás: (a) AB = [~ ~], ebből a példából is látható, hogy két nem-nulla mát- rix szorzata lehet egy nulla matrix, másrészt BA = r4~6 O (b) XY =[~ ~ 10 9 58 j -38 5 -22 °3 -26j ::: -1 O] -1 438 4 1; 4]=a' 1.9 1.8 '29 -42 másrészt -7 B * A = [ O (c)f(a)=[I; 72 r -75 :~] = 20 -40 20 -) -12 1.6 2 és A(Be) = A [-10 10 -1 13 8 -10 33 -24j -14 16 ~ 9,~5l. O J O (c) 1*bal = -3; (d) b* Ml = -14; (f) b* Ma = (a Mb)= -3; (g) ba * !VI = r . 1.10 Megoldás: (a) j 5 6 4 -2 -3 -2 ; -4 -6 -4 351 , O --J'O O 4 1*(A·e5). (e) a* Mb = -3; (h) Mba*= I O O O [ Cb) (e:-A)·l. 6 , -10 - 20 O] O 2 O· O O Cc) l'·A·l 351·6 59 y- KVANTITATív ( . MÓDSZEREK A lineáris algebra alapjai 1.11 Mcgoldás: Legyen A a technológiai matrix, a az erőforrások egységárait tartalmazó

vektor és II a termékekre vonatkozó, a gyártandó mennyiségeket tartalmazó, programvektor. Akkor a szöveg alapján: 100 1.12 Megoldás: (a) A k-adik (1::; k ::; 10) céggel lebonyolított a k-adik oszlopot kiválasztjuk ek egységvektorral megszorozzuk (b) Az eredményül kapott FCk oszlopvektor vektorral partnerekkel r' F· Ck sorrendben lebonyolított árait (a fajlagos költséget) lelő e:. egységvektorral 1 O 15]. 2 2 [ 460 10, ha az A mátrix megkapjuk, megfelelő Azaz elemeivel, 5 21 3 O I =[88; 62; (erőforrásonként) oszlopait rendre megszorozzuk a p vektor és az így kapott oszlopvektorokat = 3 2 J 150 820 [ költségét összegezzük. összegző tartalmazó ki a p-edik komponenst, (e) Az F mátrix 60 .Ap=[8; . ha c;'F sorvektor ele- is számolhatunk; e: itt F·1 a havi össz- -val való szorzás ebből választja (1::; P ::; 12). három e;1 <2 f . sorának (e;o + + (f) Az utolsó három hónap

összforgalma nyerhető: összegét kell előállítanunk: a most kapott vektor elemei- (c;o +c:1 +c:2f·1. összege osztva a hónapok és a partnerek f 120 1 11490 j ! 1.13 Megoldás: az a * Ap 10, vektor; az Ck- vektorral való skaláris szorzás segítségé- vektor; az utolsó szorzat adja: (a) c: F(p). (b) c: (p)F(p)l, (vagy (c) pF, (vagy l*(p)F). a*Ap=a 1" . FCk itt l' F az egyes tartalmazó megkapjuk. c;' . F 1 sorrendben forgalmakat (g) Az F mátri x elemeinek I • számával. (1 Fl). 50 (c) A termelés összegezzük: <F ·1. vel összegezzük: nek összegezésévei 470 O 56]. Természetesen 100 6 85, erőforrás-szükséglerét ~~~~ll~~ 1470] 15] 820 =42310 [ 1490 .~ 1·, sor- * balról: cJ". megszorozzuk hónap összforgalmát meit egy megfelelő 110; 3 2 (a p program) (b) A termelés 4 Fck. elemeit egy összegző ki a k-adik komponcnst, az (d) A p-edik a*A=[8; ha (1 ::; k ::; 10). (c) Ap-edik

(1::; p::; 12) hónapban lebonyolított forgalmar megkapjuk. ----------.----::-:1a~a::-:-:p~-e::-:r:-l'-'-::0c:cSz:::T:::"0:::-p-;::-0 t;:-r;-:l::-:vTa"'a";;"sz~tJ U k az F má trix bó 1, azaz ha azt a megle- 50 előállítási megkapjuk. azaz ha azt a meg telelő is számolhatunk; összforgalmakat val való szorzás ebből választja (a) Az egyes termékek a * A szorzat adja: jobbról: való skaláris szorzás segítségével Természetesen forgalmai az F mátrixból, (eh). c: (p)Fp). (d)<a>Fe'l. (e) F'p IC'I. (f) a*F(p)cq, (vagy l'(a)·F(p)c,J 61 KVANTITATÍV A lineáris algebra alapjai MÓDSZEREK 1.14 Megoldás: [1 Legyen A = [a,,]= ~ 2 O 2 O 3 2 6 3 4 3 O 5 1 4 3 az z-edik ahol ajj jelenti legyen mátrixa, országba során aj-edik alkatrészból IT az alkatrészek beszerzési (a) A termékek 2,1; 2; 1,4; 70; 32; 20 Ja tennelés programvektora!

alkatrészköltsége: fajlagos Aa, 3 2 6 ° 2 3 O2 6'2]2 1 1 3 4 3 O O 5 1 4 3' [ 2 = 21,5 (b) Az alkatrész-szükséglet 3 • pA = [50; 6 2 p *A , (c) A teljes importköltség: = [322; 496, 451; 451; I/A·a fajlagos termelési bontásban. bontásban). költség. a q program (i) A termékenkénti termelési fajlagos és alap- végrehajtása költség, esetén. alapanyagonként rész- 316, fedezete. 580] 316; 580] 2 =3946 27,6] 20,g x" A, (vagy 1* (x)A ). e~a· Ae, (vagy A.a e) (c) c; ·A·a, (vagy e;A. al) (d 1) (x)A(a). (d2) x*A(a), (vagy C(x)A(a) ). (d3) (x)Aa, (vagy (x)A(a)1 ). (b) = p*. Aa 1 62 alapanyagonkénti (h) A termelés összköltsége (a) 1,4 p' . Aa = [50; termékfélcségenként 1.17 Megoldás: 143 2,1 496; 1.16 Megoldás: (a) A q program alapanyag-szükséglete (j) A termékek egy egységének 3 p*A·a=[322; összetermék letezve. O 2 13430 O 5 oszlopvektorainak összes

darabszáma, bontásban. (g) A termékenkénti vektora: 70; 32, 20] 20326 [ . 21,1 1 az eladott termékek (c) A q program alapanyag-szükséglete (alapanyagonkénti (d) A q program szükséglete a k-adik alapanyagból. (e) A hét (a q program) árbevétele. (f) A hét árbevétele termékféleségenkénti bontásban. [27,6] 20,8 14 jelenti. az A mátrix anyagonként részletezve. (b) A faj lagos alapanyag-szükséglet 3 Aa = gével, így jelentése: szerinti a = [3; eladott darabszámot (c) Az A . 1 szorzat megegyezik termék előállítása és p = [50; egységárvektora " "{' az alkatrész felhasználás darabszámot. felhasznált Továbbá (j 1.15 Megoldás: (a) Az el; * A szorzat egyenlő az A mátrix k-adik sorvektorával, amely a k-aJik termekből országonkent eladott darabszámokat adja meg. (b) Az e~ . A cI' =akp egyenlőség alapján, a k-adik termekből ap-edik 70; 32, 20] 21,5 = 3946 . (eFt) [ 21,1 (eFt),és 1.18 Megoldás:

(a) M(q). (b) Mq, vagy M:q 1. (c) qb, vagy b*q. (d) (q)b, vagy q *(b), vagy b (q), vagy (b)q. 63