Comments
2007 · 4 page(s) (94 KB)
Hungarian
72
April 22 2007
Logging in required
Embed
No comments yet. You can be the first!
What did others read after this?
Content extract
GÖRBÜLETI KÖZÉPPONTOK MEGHATÁROZÁSÁRA VONATKOZÓ SZERKESZTÉSEK ALGORITMIZÁLÁSA A MECHANIZMUSOK KINEMATIKÁJÁBAN BENDE Margit %XGDSHV 0&V]DN p *D]GDViJWXGRPiQ (JHWHP Gépészmérnöki Kar 0&V]DN 0HFKDQLND 7DQV]pN PR]J Síkbeli mechanizmusok kinematikájáED IHOPHU N|YHWNH] IHODGD NHUHVV alapsík ((2)-H MHO& VtN YDODPHO C2 görbéje álló alapsíkbeli ((1)-H MHO& VtN EXUNROyMiQDNC1nek a görbületi középpontját az M érintkezési pontban, 1-et, illetve speciális esetben a mozgó alapsík egy pontja pályájának a görbületi középpontját. A probléma megoldásához rendelkezésre áll az Euler-Savary féle szerkesztés és képlet, illetve, ha nem ismert a centroisok pólusbeli görbületi középpontja, akkor a Bobillier féle szerkesztés és képlet. Bonyolultabb szerkesztések elvégzése helyett jelleghelyes ábrákra támaszkodva, a számítógépes megoldási lehHWVpJH ]H HO DUWY
My DOJRULWPL]iOKDW V]iPtWiVVD szeretnénk meghatározni a görbületi középpontok helyét. Ezért az Euler-Savary és a Bobillier NpSOHWHNH ROD IRUPiED értelmezett LUiQ WR tUM HQJHOH IHO KRJ D]RNED PHQWp PpU HOMHOH J|UEOH WiYROViJ VXJDUD HOH PHJIHOHOH V]HUHSHOMHQHN Az Euler-Savary képlet Az Euler-Savary féle szerkesztés használható, ha ismert a centroisok görbületi középpontja, G1 és G2, és ezzel a P21 SyOXVED "! QWURLV #$ ]| pULQWMH t, és közös normálisa, n. A szerkesztéshez fel kell használni a háromszög-tételt és a Kennedy tételt, és a keresett 1 görbületi középpont két egyenes metszéspontjaként adódik: (1. ábra) γ 1 = HG1 MP21 ahol H = G2γ 2 ( P21 − ben P21 M − re állított PHUOHJHV) 2 a C2 görbe M-beli görbületi középpontja. % NpSOHWHNEH IHOOYRQi MHO| SRQW iWPHQ HJHQHVW pedig két egyenes metszéspontját. Speciális esetben, ha
a mozgó alapsík egy pontja pályájának a görbületi középpontját keressük, akkor a C2 egyetlen pontra zsugorodik, és 2 egybeesik magával a ponttal. Ekkor az álló alapsíkon burkoló helyett pályagörbe szerepel. 1 Y y H G2 C2 R2 C1 2 X M mozgó pólusgörbe P21 álló pólusgörbe 1 x 3 R1 G1 1. ábra: Euler-Savary szerkesztés Az Euler-Savary képlet 1 1 1 1 1 − = ⋅ − ρ 2 ρ1 sin ϕ R2 R1 alkalmazásához a P21 pólusban mint középpontban két ortogonális jobbsodrású koordinátarendszert rögzítünk, {P21 ; x,y ; i,j} és {P21 ; X,Y ; I,J}. x &'"( QWURLV) * + ]| , pULQWMH - y a közös normálisuk, az X és Y tengelyek pedig a C1 és a C2 NRQMXJi .0/ J|UEHSi1 N|]| , QRUPiOLV & LOOHWY (32 ULQWje, az 1. ábra szerint, i,j és I,J pedig a PHJIHOHO WHQJHOH* HJVpJYHNWRUDL 4 x,y megegyezik t,n-nel. Az x tengely irányítása WHWV]OHJHVH5 U|J]tWKHWG (6( KKH 7 Az Euler-6DYDU:
NpSOHWEH5 NpSHV/8& V]HUHSO EHW&* W|EE 9 MHO Pi1 entése: P21G1 = R1 ⋅ j P21G2 = R2 ⋅ j P21γ 1 = ρ1 ⋅ I P21γ 2 = ρ 2 ⋅ I 2 HJpUWHOP&H5 PHJKDWiUR]RWW P21 H = µ ⋅ J 3 az X tengely helyzete az x tengelyhez képest, a matematikai pozitív pUWHOHPQH; PHJIHOHOHQ A Bobillier képlet A Bobillier szerkesztéshez nem kell ismerni a centroisok görbületi középpontját, illetve t-t, a FHQWURLV NpW CEAF"G QWURLVRNWy H NO|QE|] NRQMXJi HI@ < = ; ; > ]| ? pULQWMpB @ A P21 SyOXVEDQ C KDQHD görbepárt, C1' és C2'-t és C1'' és C2''-t az M' illetve M'' érintkezési pontbeli görbületi középpontjaikkal, 1' és 2' illetve 1'' és 2'' -vel. Ezek segítségével megtalálható t, majd alkalmazható az Euler-Savary szerkesztés. A szerkesztés során fel kell használni a Bobillier egyenest, annak azon tulajdonságát, hogy a Bobillier egyenes és t
szimmetrikusan helyezkedik el X' és X'' V]|JIHOH]MpU G P21-en át. A Bobillier szerkesztés lépései: (2. ábra) 1) B (X ' , X ' ' ) = (γ 1 ' γ 1 ' ' γ 2 ' γ 2 ' ') P21 2) a B (X ' , X ' ' ) Bobillier egyeneshez t 3) t-hez B (X , X ' ) vagy B (X , X ' ') 4) γ 1 = (γ 2γ 2 ' B (X , X ' ))γ 1 ' X X X'' 2 C2'' 1 2 C1'' 1 '' M'' '' = X' = P21 1 ' C1 ' = B(X',X'') B(X,X') Bobillier egyenesek t 2. ábra: Bobillier szerkesztés 3 2 M' C2 ' ' Megjegyzések: 1) Ha valamely pont pályájának a görbületi középpontját keressük, és konjugált görbepárok helyett két másik pont, M' és M'' pályájának a görbületi középpontjai ismertek, akkor az Euler-Savary szerkesztésnél leírtakkal analóg módon a mozgó
alapsík görbéi helyett pontok szerepelnek, a 2' és 2'' görbületi középpontok ráhúzódnak az M' és M'' pontokra, és burkoló szerepét a pályagörbe veszi át. 2) A Bobillier szerkesztés negyedik lépése az Euler-Savary szerkesztés. J %RELOOLHK NpSOHL8M N|YHWNH] ρ ⋅ sin (X ' , X ' ') + ρ '⋅ sin(X ' ' , X ) + ρ ' '⋅ sin (X , X ') = 0 ahol 1 1 1 = − ρ {P21γ 2 } {P21γ 1} 1 1 1 = − ρ ' {P21γ 2 ' } {P21γ 1 ' } 1 1 1 = − ρ ' ' {P21γ 2 ' ' } {P21γ 1 ' ' } J IHQLN NpSOHWHNEHOPM LUiQ WRWWViJ M V]HULQLVN HOMHOHVHQ pUWHQGN [M DUJXPHQWXPiEDO NDSFVR Q HOMHOH Q ]iUyMH RM EHO O S T WiYROViJiLXW HOHQWL Y PDWHPDWLND N SR]LWt] V]HUHSO VRUUHQGEHO V]HUHSO $Z IRUJiVLUiQU SRQWRNQDTPM PHJIHOHO WHQJHOU X, X' és X'' tengelyek közötti szögek V]HULQW [^M WHQJHOHNHL M VLQXVIJJYpQU WHNLQWYH A
Bobillier képlet levezetése megtalálható a hivatkozásban. Irodalom: FAYET, M.: Une nouvelle formule relative aux courbures dans un mouvement plan, Mech. Mach Theory, 23, No 2, pp 135-139, 1988 Bobillier formula as a fundamental law in planar motion, ZAMM 82 (2002) 3, pp 207210 4
My DOJRULWPL]iOKDW V]iPtWiVVD szeretnénk meghatározni a görbületi középpontok helyét. Ezért az Euler-Savary és a Bobillier NpSOHWHNH ROD IRUPiED értelmezett LUiQ WR tUM HQJHOH IHO KRJ D]RNED PHQWp PpU HOMHOH J|UEOH WiYROViJ VXJDUD HOH PHJIHOHOH V]HUHSHOMHQHN Az Euler-Savary képlet Az Euler-Savary féle szerkesztés használható, ha ismert a centroisok görbületi középpontja, G1 és G2, és ezzel a P21 SyOXVED "! QWURLV #$ ]| pULQWMH t, és közös normálisa, n. A szerkesztéshez fel kell használni a háromszög-tételt és a Kennedy tételt, és a keresett 1 görbületi középpont két egyenes metszéspontjaként adódik: (1. ábra) γ 1 = HG1 MP21 ahol H = G2γ 2 ( P21 − ben P21 M − re állított PHUOHJHV) 2 a C2 görbe M-beli görbületi középpontja. % NpSOHWHNEH IHOOYRQi MHO| SRQW iWPHQ HJHQHVW pedig két egyenes metszéspontját. Speciális esetben, ha
a mozgó alapsík egy pontja pályájának a görbületi középpontját keressük, akkor a C2 egyetlen pontra zsugorodik, és 2 egybeesik magával a ponttal. Ekkor az álló alapsíkon burkoló helyett pályagörbe szerepel. 1 Y y H G2 C2 R2 C1 2 X M mozgó pólusgörbe P21 álló pólusgörbe 1 x 3 R1 G1 1. ábra: Euler-Savary szerkesztés Az Euler-Savary képlet 1 1 1 1 1 − = ⋅ − ρ 2 ρ1 sin ϕ R2 R1 alkalmazásához a P21 pólusban mint középpontban két ortogonális jobbsodrású koordinátarendszert rögzítünk, {P21 ; x,y ; i,j} és {P21 ; X,Y ; I,J}. x &'"( QWURLV) * + ]| , pULQWMH - y a közös normálisuk, az X és Y tengelyek pedig a C1 és a C2 NRQMXJi .0/ J|UEHSi1 N|]| , QRUPiOLV & LOOHWY (32 ULQWje, az 1. ábra szerint, i,j és I,J pedig a PHJIHOHO WHQJHOH* HJVpJYHNWRUDL 4 x,y megegyezik t,n-nel. Az x tengely irányítása WHWV]OHJHVH5 U|J]tWKHWG (6( KKH 7 Az Euler-6DYDU:
NpSOHWEH5 NpSHV/8& V]HUHSO EHW&* W|EE 9 MHO Pi1 entése: P21G1 = R1 ⋅ j P21G2 = R2 ⋅ j P21γ 1 = ρ1 ⋅ I P21γ 2 = ρ 2 ⋅ I 2 HJpUWHOP&H5 PHJKDWiUR]RWW P21 H = µ ⋅ J 3 az X tengely helyzete az x tengelyhez képest, a matematikai pozitív pUWHOHPQH; PHJIHOHOHQ A Bobillier képlet A Bobillier szerkesztéshez nem kell ismerni a centroisok görbületi középpontját, illetve t-t, a FHQWURLV NpW CEAF"G QWURLVRNWy H NO|QE|] NRQMXJi HI@ < = ; ; > ]| ? pULQWMpB @ A P21 SyOXVEDQ C KDQHD görbepárt, C1' és C2'-t és C1'' és C2''-t az M' illetve M'' érintkezési pontbeli görbületi középpontjaikkal, 1' és 2' illetve 1'' és 2'' -vel. Ezek segítségével megtalálható t, majd alkalmazható az Euler-Savary szerkesztés. A szerkesztés során fel kell használni a Bobillier egyenest, annak azon tulajdonságát, hogy a Bobillier egyenes és t
szimmetrikusan helyezkedik el X' és X'' V]|JIHOH]MpU G P21-en át. A Bobillier szerkesztés lépései: (2. ábra) 1) B (X ' , X ' ' ) = (γ 1 ' γ 1 ' ' γ 2 ' γ 2 ' ') P21 2) a B (X ' , X ' ' ) Bobillier egyeneshez t 3) t-hez B (X , X ' ) vagy B (X , X ' ') 4) γ 1 = (γ 2γ 2 ' B (X , X ' ))γ 1 ' X X X'' 2 C2'' 1 2 C1'' 1 '' M'' '' = X' = P21 1 ' C1 ' = B(X',X'') B(X,X') Bobillier egyenesek t 2. ábra: Bobillier szerkesztés 3 2 M' C2 ' ' Megjegyzések: 1) Ha valamely pont pályájának a görbületi középpontját keressük, és konjugált görbepárok helyett két másik pont, M' és M'' pályájának a görbületi középpontjai ismertek, akkor az Euler-Savary szerkesztésnél leírtakkal analóg módon a mozgó
alapsík görbéi helyett pontok szerepelnek, a 2' és 2'' görbületi középpontok ráhúzódnak az M' és M'' pontokra, és burkoló szerepét a pályagörbe veszi át. 2) A Bobillier szerkesztés negyedik lépése az Euler-Savary szerkesztés. J %RELOOLHK NpSOHL8M N|YHWNH] ρ ⋅ sin (X ' , X ' ') + ρ '⋅ sin(X ' ' , X ) + ρ ' '⋅ sin (X , X ') = 0 ahol 1 1 1 = − ρ {P21γ 2 } {P21γ 1} 1 1 1 = − ρ ' {P21γ 2 ' } {P21γ 1 ' } 1 1 1 = − ρ ' ' {P21γ 2 ' ' } {P21γ 1 ' ' } J IHQLN NpSOHWHNEHOPM LUiQ WRWWViJ M V]HULQLVN HOMHOHVHQ pUWHQGN [M DUJXPHQWXPiEDO NDSFVR Q HOMHOH Q ]iUyMH RM EHO O S T WiYROViJiLXW HOHQWL Y PDWHPDWLND N SR]LWt] V]HUHSO VRUUHQGEHO V]HUHSO $Z IRUJiVLUiQU SRQWRNQDTPM PHJIHOHO WHQJHOU X, X' és X'' tengelyek közötti szögek V]HULQW [^M WHQJHOHNHL M VLQXVIJJYpQU WHNLQWYH A
Bobillier képlet levezetése megtalálható a hivatkozásban. Irodalom: FAYET, M.: Une nouvelle formule relative aux courbures dans un mouvement plan, Mech. Mach Theory, 23, No 2, pp 135-139, 1988 Bobillier formula as a fundamental law in planar motion, ZAMM 82 (2002) 3, pp 207210 4
When reading, most of us just let a story wash over us, getting lost in the world of the book rather than paying attention to the individual elements of the plot or writing. However, in English class, our teachers ask us to look at the mechanics of the writing.
