Mathematics | High school » Differenciálszámítás emelt szinten, 2007

TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS TARTALOM Függvénygörbék jellemzői Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Az f(x) függvény egy [a;b] intervallumban alulról konvex (alulról konkáv), ha ott értelmezve van, és az intervallum minden a < x1 < x2 < b pontjára a függvény grafikonja az (x1 ; f(x1 )) és az az (x2 ; f(x2 )) pontokat összekötő szakasz alatt ( szakasz fölött )halad. )halad Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok A függvénygörbe az [a;b] intervallumban alulról konvex, a [b;c] intervallumban alulról konkáv TARTALOM Görbék érintői Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és

differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Görbék meredeksége, az érintő szemléletes fogalma 1. A lineáris függvény meredekség: az irányszög tangense, m= tgα ha tgα > 0, a fv. szigmon növekvő ha tgα < 0, a fv. szigmon csökkenő ha tgα = 0, a fv. állandó TARTALOM Görbék érintői Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője 2. Az érintő fogalma Az érintőnek a görbével „egyetlen közös pontja ” van Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Az érintő definícióját nyilvánvalóan másképpen kell megadni TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok 3. Az érintő értelmezése - Legyen az f(x)

függvény mindenütt folytonos. - Rögzítsünk a függvénygörbén egy P pontot és egy a P P-től től különböző tetszőleges Q (vagy Q* ) pontot. - Mozgassuk a Q (vagy Q* ) pontot a P pont felé, ekkor a PQ (vagy PQ* ) szelő egy „határhelyzethez határhelyzethez”, egy e egyeneshez közeledik, amely áthalad a P ponton - Ezt a közös e egyenest a függvénygörbe P pontbeli érintőjének nevezzük TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados A parabola b l é érintője i őj Feladat: Határozzuk meg az y = x2 egyenletű parabola P(2;4) pontjában a parabola érintőjét! Legyen Q (x ; x2) tetszőleges pont A PQ szelők iránytangense: Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja x2  4 m( x )   x2 x2 x  R 2 Ha Q* (-1 ; 1) tetszőleges pont Deriválási szabályok A PQ* szelő iránytangense: 2   1  4  3 m(1)   1 1 

2 3 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok A parabola b l é érintője i őj Az y = x2 egyenletű gy p parabola P(2;4) ( ; )p pontjában j az érintő iránytangensét az m (x) függvény x = 2 helyen vett határértékével definiálhatjuk: x2  4 m( x )   x2 x2 x  R 2 lim m( x)  lim( x  2)  4 x2 x2 A P pontban az érintő egyenlete: m4  y  4x  b P(2;4)  4  4  2  b b  4 Az érintő egyenlete: y  4x  4 y  mx  b TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Differencia- és differenciálhányados Definíció: Az f(x) függvény x0 ponthoz tartozó

differenciahányadosán az f ( x )  f ( x0 ) x  x0 ( x  x0 ) hányadost értjük. Ha a diff H differenciahányadosnak i há d k az x0 pontban tb van határértéke, h tá é ték akkor ezt a határértéket az f(x) függvény x0 pontbeli differenciálhányadosának vagy deriváltjának nevezzük. Ekkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvény az x0 pontban differenciálható vagy deriválható. Megjegyzés: Az f(x) függvény az ]a;b[ intervallumban deriválható, ha az intervallum minden x0 pontjában teljesül a deriválhatóság. TARTALOM Differenciálszámítás Differencia- és differenciálhányados Szemléletes jelentés: Görbék érintői Differenciahányados Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság a grafikon x0 és x pontját összekötő szelő iránytangense A függvény deriváltja Deriválási szabályok fi ikáb fizikában matematikában t tikáb s(t) út-idő függvény esetén az

átlagsebesség g g Differenciálhányados matematikában a grafikon x0 pontjában húzott érintő iránytangense fizikában s(t) út-idő függvény esetén a pillanatnyi sebesség TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Tétel: Ha az f(x) függvény x0 pontban deriválható, akkor ott folytonos is. Ebből következik, hogy a folytonosság a differenciálhatóság szükséges feltétele. A folytonosság azonban nem elégséges feltétel ahhoz, hogy az f(x) függvény valamely pontban differenciálható legyen. Pl: xR x0 x m( x )  x0  lim m( x)  lim x 0 Deriválási szabályok f ( x)  x x x0  0 pontban folytonos  1 ha x  0  x  1 ha x  0  nem létezik, tehát az f(x) nem differenciálható x m( x )  f ( x)  x x x 0 x TARTALOM A függvény deriváltja

Differenciálszámítás Görbék érintői F l d t Feladat: Parabola érintője 2 Igazoljuk, hogy az f ( x)  x függvény mindenütt differenciálható! Differencia- és differenciálhányados A tetszőleges de rögzített x0 ponthoz tartozó differenciahányados: Differenciálhatóság és folytonosság x  x0 x  x0   x  x f ( x )  f ( x0 ) x 2  x 0 m x     0 x  x0 x  x0 x  x0 A függvény deriváltja A differenciahányados határértéke az x0 pontban: Deriválási szabályok lim m( x)  lim 2 x  x0 f ( x )  f ( x0 )  lim ( x  x0 )  2 x0 x  x0 x  x0 x  x0 ( x  x0 ) ( x  x0 ) Mivel x0 az értelmezési é é tartomány á tetszőleges ő eleme, ezért é az f(x) f( ) függvény mindenütt differenciálható. A tetszőleges x pontban a differenciálhányados: 2x TARTALOM A függvény deriváltja Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és

differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok D fi í ió Definíció: Azt a függvényt, amely megadja, hogy a változó egyes értékeihez mely derivált tartozik, az f(x) függvény deriváltfüggvényének vagy röviden deriváltjának nevezzük. df ' f ( x ) vagy Jelölés: dx ' Pl: f ( x)  x 2 f ' ( x)  2 x vagy x 2  2 x   TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Deriválási szabályok 1. A konstans függvény gg y deriváltja j f ( x)  c c  R Legyen x0 tetszőleges pont: f ( x )  f ( x0 ) c  c  0 x  x0 x  x0 f ' ( x0 )  lim m( x)  0 ( x  x0 ) m x   ( x  x0 ) x  x0 Differenciálhatóság és folytonosság f ( x)  c f ' ( x)  0 vagy (c)'  0 A függvény deriváltja 2. Az elsőfokú függvény deriváltja Deriválási

szabályok m x   f ( x )  f ( x0 ) x  x0  1 x  x0 x  x0 f ( x)  x ( x  x0 ) f ' ( x0 )  lim m( x)  1 ( x  x0 ) x  x0 f ( x)  x f ' ( x)  1 vagy ( x))'  1 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok 3 3 Az 3. A f ( x)  x függvény fü é d deriváltja i áltj Legyen x0 tetszőleges pont: x  x0 x 2  xx0  x0 2   f ( x)  f ( x0 ) x 3  x0 m x     x  x0 x  x0 3  x 2  xx0  x0 2 x  x0 ( x  x0 ) f ' ( x0 )  lim m( x)  x 2  xx0  x0  3 x0 2 x  x0 2 ( x  x0 ) Deriválási szabályok f ( x)  x 3 f ' ( x)  3x 2 4. A hatványfüggvény deriváltja f ( x)  x n f ' ( x)  n x n 1 vagy ( x 3 )'  3x 2 f ( x)  x n vagy ( x

n ))'  n x n 1 nZ TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok 1 x  R 0 függvény fü é d deriváltja i áltj x Legyen x0 tetszőleges pont: 5 Az 5. A f ( x)  1 1  f ( x)  f ( x0 ) x x0 x0  x  ( x  x0 ) 1 m x       x  x0 x  x0 xx0  x  x0  xx0  x  x0  xx0 f ' ( x0 )  lim m( x)   x  x0 1 1  2 xx0 x0 ( x  x0 ) Deriválási szabályok 1 f ( x)  x 1 f ' ( x)   2 x ' 1 1 vagy     2 x  x TARTALOM Deriválási szabályok Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság Felhasználhatjuk azt is hogy: Felhasználhatjuk, f ( x)  1  x 1 x A függvény

deriváltja f ( x)  1 x  x2 1 x2 x  R R  függvény deriváltja x  R R Deriválási szabályok 1 1 1 1 1  1 1 1  f ( x)  x 2  x 2  2 2 2 12 2 x x ' f ( x)  x f ' ( x)  n x n 1 x  R 0 f ' ( x)  (1) x 11   x  2   6. Az f ( x)  x f ( x)  x n f ' ( x)  1 2 x vagy  x   21x ' TARTALOM Deriválási szabályok Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője f ( x)  x n Differencia- és differenciálhányados x  R R  függvény fü é d deriváltja i áltj n 7 Az 7. A f ( x)  x k k k  xn x  R R  , n, k  Z , n  2 k Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja k 1 f ( x)  x n n ' k k n 1 ' f ( x)  x n f ( x)  x k n Deriválási szabályok Például: 2 f ( x)  x 3 2 1 2 3 1 2  3 2 f ( x)  x  x  3 3 3 3 x ' k k n 1 k

 vagy  x   x   n n ' TARTALOM Deriválási szabályok Differenciálszámítás Görbék érintői 8 A szinusz8. i é kkoszinuszfüggvény és i fü é d deriváltja i áltj Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Bebizonyítható, hogy: f ( x)  sin x f ' ( x)  cos x vagy sin x '  cos x f ( x)  cos x f ' ( x)   sin x vagy cos x '   sin x Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Deriválási szabályok Tétel: Feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények x0  [a;b] pontban differenciálhatók, akkor f ((xx) f ( x)  g ( x) , c  f ( x) c  R, f ( x)  g ( x) és g ( x)  0 g ( x) függvények is

differenciálhatók az x0  [a;b] pontban. Bebizonyítható, hogy:  f ( x)  g ( x) '  f ' ( x)  g ' ( x) c  f ( x) ' c  f ' ( x) cR TARTALOM Deriválási szabályok Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok A szorzatfüggvény tfü é deriváltja d i áltj Feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények mindenütt differenciálhatók. Határozzuk meg g a h( x )  f ( x )  g ( x ) függvény deriváltját! m x   h ( x )  h ( x 0 ) f ( x )  g ( x )  f ( x0 )  g ( x 0 )   x  x0 x  x0 A számlálóhoz adjuk hozzá és vonjuk ki az szorzatot: t t   f ( x0 )  g ( x ) f ( x )  g ( x )  f ( x 0 )  g ( x0 )  f ( x 0 )  g ( x )  f ( x 0 )  g ( x )  x  x0  f ( x )  g ( x )  f ( x 0 )

 g ( x )    f ( x0 )  g ( x )  f ( x0 )  g ( x 0 )   x  x0 x  x0 TARTALOM Deriválási szabályok Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja  g ( x)   f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )  g ( x)  g ( x0 )  x  x0  g ( x )  g ( x0 ) f ( x )  f ( x0 )  g ( x)   f ( x0 ) x  x0 x  x0  f ( x)  f ( x0 )  g ( x )  g ( x0 ) h ' ( x0 )  lim m( x)  lim   g ( x)   f ( x0 )  x  x0 x  x0 x  x0 x  x0   Deriválási szabályok  f ' ( x0 )  g ( x0 )  f ( x0 ) g ' ( x0 )  f ( x)  g ( x) '  f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x) TARTALOM Deriválási szabályok Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados

Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Például: f ( x)  x 2  sin x x   2 x 2 ' sin x '  cos x f ' ( x)  2 x  sin x  x 2  cos x TARTALOM Deriválási szabályok Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok A hányadosfüggvény há d fü é d deriváltja i áltj h( x )  f ( x) g (x ( x) g ( x)  0 Feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények mindenütt ( ) függvény gg y deriválását visszavezethetjük j a differenciálhatók. A h(x) szorzatfüggvény deriválására, ugyanis h( x )  f ( x)  1 g (x ( x) Bebizonyítható, hogy '  f ( x)  f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x)    g ( x)2  g ( x)  TARTALOM Deriválási szabályok

Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Például: 1. f ( x)  x x2  1 x  1  2 x ( x) '  1 ' 2 x  1  x(2 x)  x  1  2 x  1  x f ( x)  x  1 x  1 x  1 2 2 2 2 ' Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok 2 2 2. f ( x )  tgx  sin x cos x 2 2 2 2   x  R   k k  Z  2  cos x '   sin x (sin x) '  cos x 2 2 cos x cos x  (  sin x) sin x  cos x  sin x  1 f ( x)  cos 2 x cos 2 x cos x 2 ' f ( x)  tgx g f ' ( x)  1 cos 2 x vagy gy ' tgx g  1 cos 2 x TARTALOM Deriválási szabályok Differenciálszámítás Görbék érintői Az összetett függvény deriváltja Parabola érintője Bebizonyítható, hogy Differencia- és differenciálhányados

Differenciálhatóság és folytonosság Ha a g függvény deriválható az x0 helyen, és az f függvény deriválható a g( x0 ) helyen, akkor az f [g(x)] összetett függvény is deriválható az x0 helyen, és a deriváltja: A függvény deriváltja  f [ g ( x)] '  f ' g ( x0 ) g ' ( x0 ) Deriválási szabályok H az x0 az értelmezési Ha ét l é i ttartomány t á ttetszőleges t ől helye: h l  f [ g ( x)] ' f ' g ( x) g ' ( x) TARTALOM Deriválási szabályok Differenciálszámítás Görbék érintői 1 f ( x)  Például: cos x 0 x  2 Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja f ( x)  1 cos x  (cos x ) 1 2 g ' ( x)   sin( x ) g ( x)  cos( x) 3  sin x 1 sin x  f ( x )   cos x 2  (  sin x )  2 2 cos x cos x 2 cos 3 x ' Deriválási szabályok

 f ' ( x)  tgx 2 cos x