Physics | Lasers » A lézerek kvantumelméletének néhány eredménye

A lézerek kvantumelméletének néhány eredménye A Scully és Lamb féle leírást követjük vázlatosan a következő egyszerűsítésekkel: - 1 módusú lézert tárgyalunk rezonancia frekvencián ωn = Ωn= ω0 = ω, - az atomok állnak, - elhanyagoljuk a módusok térbeli (z szerinti) függését is sin(knz) 1/(2)1/2 - adiabatikus közelítést alkalmazunk: a tér amplitúdója lassan változik, az atomi átmenet ideje alatt (T ~ 1/γab) praktikusan változatlan marad, csak nagyszámú atom hozzájárulása eredményeként változik észrevehetően. Az aktív közeg 2 nívós, ahol az "a" felső szintre t0i tetszőleges időben gerjesztődnek az elektronok λa valószínűséggel (egységnyi térfogatban), λb=0. A kvantumelektrodinamikából ismert az elektromágneses tér fotonszám sajátállapotok szerinti kifejtése. n az elektromágneses tér egy olyan állapota, amikor n db foton van jelen. Ebben a reprezentációban egy tetszőleges állapot leírható a ρ

sűrűségmátrixszal ρ = ∑ ρn ,n' n n' n ,n' A sűrűségmátrix diagonális elemei n foton jelenlétének a valószínűségét fejezik ki a térben: p(n ) = ρ n ,n . Az elektromágneses tér a fotonszámra ható keltő és eltüntető operátorokkal kifejezett alakja 1 módus esetére 1/ 2  hΩ   E (z ) = E0 (a + a )sin(kz ), ahol E0 =  ε V  o  normálási faktor, V pedig a módus térfogata. Az elektromágneses tér várható értéke a sűrűségmátrix segítségével határozható meg az + [ ] E (z ) = Tr[ρ E (z )] = E0 sin (kz )Tr ρ (a + a + ) alapján. A megoldás menete a következő: fel kell írni a teljes rendszer (elektromágneses tér és az atomi rendszer) Hamilton - operátorát mátrix alakban és meg kell határozni a sűrűségmátrixot időfüggő perturbáció számítás segítségével. A teljes rendszer Hamilton-operátora: 67 4H04 8 H$ = Ht + Ha + V Ht = hω( a+a), ωa 0  Ha = h   0 ωb 

 0 Vab  e xab d V = h E 0 ( a + + a) , Vab = − E = − h h Vab 0  1 A teljes rendszer sűrűségmátrixának mozgásegyenlete: [ ρ& ta = −i ( H0 + V ), ρta ] A mozgásegyenlet megoldása a kölcsönhatási képbe áttérve lehetséges időfüggő perturbációszámítással. Kezdeti feltétel: t0-ban a tér és az atomi rendszer között még nincs kölcsönhatás és az atomok a felső "a" állapotba vannak gerjesztve, vagyis  ρ0 0 ρta (t0 ) = ρ0 ρa (t0 ) =    0 0 A lineáris közelítésből a küszöbműködésre vonatkozó inverziósűrűséget lehet meghatározni, ami megegyezik a FKE hasonló eredményével: hγ ab Nc = 2 2 4π e xab Q 1 424 3 d2 A küszöb alatt működő lézerre jellemző fotonstatisztika p(n) n szerint exponenciálisan lecsengőnek adódik, ami megegyezik a termikus fénynek megfelelő statisztikával. A nemlineáris közelítésből a sávszélesség, a lézertér tranziens felépülése

és a fotonstatisztika is meghatározható. Nézzük át ezeket az eredményeket sorban 4.1 A lézerfény sávszélessége Az elektromágneses tér várható értékére a következő kifejezés adódik a nemlineáris elmélet alapján: − Dt E (z , t ) = E (z , o )e 2 cos ω t ahol a sávszélességre, D -re D= ω 2Q n adódik. Az exponenciális lecsengésű időfüggvény Fourier - transzformáltja, mint tudjuk Lorentz - típusú eloszlást ad a frekvencia-térben, melynek félértékszélessége éppen a D/2. Látható, hogy annál kisebb a lézermódus sávszélessége, minél nagyobb a fotonszám várható értéke. Mivel a rezonátor jósági tényezője a rezonátor módus frekvenciájának és ez utóbbi frekvencia szerinti kiszélesedésének a hányadosa, vagyis Q= Ω ω ≅ ∆Ω ∆Ω és a rezonátormódus frekvenciája helyett jó közelítéssel a lézermódus frekvenciája írható, a sávszélességre kapjuk D= ∆Ω . 2n 2 Mivel az indukált

emisszió valószínűsége Wab = 〈n〉⋅Aab, a sávszélesség átírható ∆Ω Aab 2 Wab alakba. Ez utóbbit praktikusabban is kifejezhetjük: A rezonátorban tárolt energia ∼ <n>hω - val, a veszteség (a kisugárzott energia egységnyi idő alatt), P = <n>hω ∆Ω. Így a fotonszám várható értéke D= P hω ⋅ ∆Ω n= és az elméleti sávszélesség D= 1 (∆Ω)2 hω 2 P Az elméleti sávszélesség alapján becsüljük sávszélességének, (∆ω/ω)lézer - nek a nagyságát! meg a lézer relatív h  ∆ω  (∆Ω)2 =    ω  lŽŽze 2 P 2 %-os veszteség esetén (oda - vissza menetre), L = 0,5 m hosszú rezo-nátorban, P = 1 mW esetén: I = 0 , 98 Io I = Ioe − ∆ Ω.t ahol t egy oda-vissza menet ideje. t= 1m = 1 ⋅ 10 −8 s 3 m s −0 , 02 = ln 0 , 98 = − ∆ Ω ⋅ t 0 , 02 1 ∆Ω= = 6 ⋅ 10 6 = 6 MHz 1 s ⋅ 10 −8 s 3 1,054 ⋅10−34  ∆ω  = ⋅36⋅ 1012 ≅ 2⋅10−18   −3 ω 2

⋅ 10  lŽŽze 3 ⋅ 10 8 Ha a rezonátor frekvenciáját ilyen pontossággal szeretnénk stabilizálni, akkor ehhez milyen hosszstabilitás kellene? ν=n Vagyis, ha c 2c cπ ∆L L2 cπ ∆Ω = − n 2 ∆L L ∆Ω ∆L = = 10 −18 Ω L Ω=n L = 0,5 m ∆ L = 0 , 5 ⋅ 10 −18 m ? 3 Ezt pedig lehetetlen elérni! Mennyi az elérhető hosszstabilitás? Kis hőtágulású (pl. invar) angyagból készített rezonátor esetén, ha a lineáris hőtágulási együttható α ≈ 10 −7 / ° K ∆Ω α L ∆T = = α ⋅ ∆T = 10 −7 ⋅ ∆T Ω L Kérdés, hogy a hőmérsékletet mennyire lehet állandó értéken tartani. HaT = 0,001 °K ∆Ω ≈ 10 −10 Ω Ha a hőtágulásból eredő ingadozást meg is szüntettük, még más problémák is maradnak: pl. akusztikus vibráció, törésmutató ingadozás, áram ingadozás (gázlézereknél), stb. Vagyis a gyakorlatban megvalósuló relatív sávszélesség messze elmarad az elméletileg várható

értéktől. A sávszélesség csökkentésére a hőfok és áramstabilizáláson kívül hatásosabb ú.n aktív stabilizálási módszer is van Lamb - dip jelenség Inhomogén kiszélesedésű egymódusú gázlézerben állandó gerjesztés mellett a következő teljesítmény spektrummérhető pl. az üreg hosszának finom mozgatásával (λ / 2 - n belül) Pki ω ω0 A mozgás miatt, ha pl. ω ≠ ω o , kétféle atomcsoport vesz részt az indukált emisszió folyamatában, a + v és - v sebességűek. g Doppler kiszélesedet lézerátmenet ω' ω0 ω '' ω ω' és ω'-nél lyukégetés történik a frekvenciaspektrumba. 4  V  V ω ′1 +  = ω 0 ,ω ′′1 −  = ω 0 c c   V V ω ′′ = ω ′ + ω ′ + ω ′′ = ω ′ + (ω 0 − ω ′) + (ω ′′ − ω 0 ) 1 424 3 c c =ω ′′−ω 0 ω ′′ = ω ′ + 2(ω 0 − ω ′) A középfrekvencián viszont csak azonos atomokkal történik a

kölcsönhatás oda - vissza is, ezért itt kisebb kimenő teljesítmény adódik. Aktív stabilizálási lehetőség a teljesítményt minimumán tartani pl. az egyik tükör piezos mozgatásával és visszaszabályozással. Az elérhető stabilitás 10-9 Még jobb stabilitás érhető el, ha a rezonátorba külön abszorpciós cellát is teszünk, melyben nincs kisülés. A cella a telítődés miatt a középfrekvencián átlátszó lesz, másutt elnyel, ezért fordított Lamb - dip jelenség áll elő, vagyis a cellával a teljesítmény éppen a közepes hullámhosszon lesz a maximális és az elérhető stabilitás 10-12 - 10-13 lesz (~100 Hz !!). 4.2 A lézertér tranziens felépülése és fotonstatisztika Megmutatható, hogy az elektromágneses térnek, mely kvantált oszcillátorokkal írható le, (a kanonikus Q és P operátorokkal) létezik egy minimális bizonytalanságú állapota, mikor ∆Q ∆P = h 2 az ún. koherens állapot Ekkor n foton jelenlétének a

valószínűsége Poisson eloszlás lesz. Megmutatható a lézerek kvantumelméletéből, hogy a lézertér magasan a küszöb fölött éppen az elektromágneses térnek ez a minimális bizonytalanságú koherens állapota, vagyis a fotontér sűrűségmátrixa magasan a küszöb fölött ρnn ≈ e − 〈 n 〉 〈 n 〉n n! alakú. A koherens tér kialakulása azonban időt vesz igénye Példaként a következő ábrákon egy 10% - kal a küszöb fölött működő lézer esetén mutatjuk be a koherens tér kiépülésének folyamatát. ρn,n időbeli kiépülése kb 60 µs-ig tart: ρ n,n ρ n,n t=17µ t=0 1 0,03 t=1µ 0,02 s s t=26µ s µ t=60 s 0,01 <n >=7 n 2 4 6 8 n 100 5 60 µs - nál kialakul a stabil, átlagosan 70 foton jelenlétének megfelelő fotontér, mikor az eloszlás már jó közelítéssel megfelel a Poisson - eloszlásnak. 30%-kal a küszöb fölött az állandó állapot ~ 20ms alatt áll be. A fotonszám várható értéke attól

függ, hogy a küszöbhöz képest mekkora a közegben a gerjesztéssel elért inverziósűrűség: n = erõsítés − veszteség telítési paraméter ρ n,n küszöb alatt 20%-kal 0,2 0,15 0,1 küszöbnél 20%-kal a küszöb fölött 0,05 n 50 4.3 100 A lézerfény koherencia tulajdonságai Koherencia fogalma (első rendű) elemi megközelítésben: térbeli koherencia Ha a P1 és P2 pontok a hullámfront pontjai és E1(t), E2(t) a téramplitudók ezen pontokban és t = 0-ban a fáziskülönbség 0 és ez bármely t > 0 - ra megmarad, akkor a két pont között tökéletes térbeli koherencia van. Ha bármely hullámpontbeli pontra ez igaz, akkor a nyaláb térbeli koherenciája tökéletes. Ha csak a P1 pont véges környezetére igaz, akkor bevezethető a koherencia terület fogalma, s ekkor részleges a térbeli koherencia. időbeli koherencia Ha a P - pontban E(t) és E(t+τ ) közötti fáziskülönbség bármely t - re állandó, bármely τ esetén is,

tökéletes az időbeli koherencia. Ha csak 0 < τ < τc esetén teljesül, akkor τ c a koherencia idő, illetve τ cc = Lc a koherencia hossz. Az időbeli koherencia közvetlenül kapcsolatos a sávszélességgel illetve a monokromatikussággal, mivel τc ~ 1 ∆ν A koherencia mérése interferométerrel történhet, a térbeli koherencia Young féle interferométerrel, ahol az interferenciakép láthatóságából I max− Imin Imax + Imin számolható a koherenciahossz, az időbeli koherenciát pedig Michelson interferométerrel lehet meghatározni. A lézerek kvantumelméletéből számolható, hogy az egymódusú, magasan a küszöb fölött működő lézertér - koherens tér, tökéletes térbeli koherenciával rendelkezik. Az időbeli koherencia a sávszélességtől függ. A legkisebb elérhető sávszélesség ~ 300 Hz (aktív stabilizálású He - Ne lézer), ekkor 6 1 Lc max ~ 3 .108 10−2 = 106 m = 1000km ! 3 Konvencionális fényforrás (pl. Na-lámpa)

esetén τc ~ 10−10 s Lc ~ 3 . 108 10−10 ~ 3cm ! Kissé stabilizált lézer (0,1o K-re) 1 1 ∆ ν ~ 3 . 107 τc ~ . 10−7 s 3 3 Lc ~ 10 m 7