Mathematics | Higher education » Síkbeli geometriai transzformációk és mátrixok

légifotók m holdképek digitális és analóg térképek egymásra illesztése: ??????????? =>GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK tengelyes tükrözés középpontos tükrözés elforgatás eltolás középpontos nagyítás fentiek kombinációja (mer leges) affinitás Definíció: egyenestartó transzformáció Egy affinitás esetén tengelynek nevezzük az affinitásra fix egyenest. A sík önmagára való, nem identikus affinitását tengelyes affinitásnak nevezzük, ha van tengelye. Pl.: a tengelyes tükrözés, mint affinitás esetében az affinitás tengelye a tükörtengely. Belátható, hogy a sík önmagára való, nem identikus affinitásának legfeljebb egy tengelye van. Bizonyítható továbbá, hogy a tengelyes affinitásban nem fix pontokat az egymásnak megfelel összeköt egyenesek párhuzamosak. A tengelyes affinitás megfelel pontjait összeköt egyenesek irányát az affinitás irányának nevezzük. Ha a tengelyes affinitás iránya mer leges a tengelyre,

akkor mer leges vagy ortogonális affinitásról, ha párhuzamos az affinitás iránya a tengellyel, akkor párhuzamos affinitásról, egyéb esetben ferde affinitásról beszélünk Ha a tengelyes affinitás iránya nem párhuzamos az affinitás tengelyével, akkor bármely nem fix pontot ( pl. P, Q) a képponttal összeköt egyenesnek és a tengelynek a Pt, Qt metszéspontjára minden esetben igaz: PPt/PtP = QQt/QtQ Bármely tengelyes affinitás megadható tengelyével, irányával és tetsz leges pont esetén a PPt/PtP hányadossal (osztóviszony) Minden affinitás megadható három nem kollineáris pontpárral. Minden affinitás el állítható egy hasonlósági transzformáció és egy tengelyes affinitás szorzataként. Affin transzformációk hatásai (ezeket nevezzük lineáris transzformációknak, mivel a pont-képpont párok között lineáris (els fokú) egyenletrendszer teremt kapcsolatot) Az alábbi felületek nemlineáris* transzformációkkal vihet k

egymásba gömbfelület síkbafejtésénél ezek szükségszer ek. * ezek általában polinomiális azaz másodfokú, harmadfokú egyenleteket jelentenek Definíció: n oszlopból és m sorból álló táblázat a11 a12 . a1n a 21 a 22 . a 2 n a m1 a m2 . a mn Mivel ennek a mátrixnak m sora és n oszlopa van, m n típusú mátrixnak nevezzük. A mátrixban lev aij számok a mátrix elemei. aij az i-edik sor j-edik eleme, az i-t sorindexnek, a j-t pedig oszlopindexnek nevezzük. Két mátrix egyenl , ha ugyanolyan típusúak és megfelel elemeik megegyeznek. Ha m = n, akkor a mátrixot négyzetes mátrixnak nevezzük Ha a mátrixnak egy sora vagy egy oszlopa van, azaz 1 n-es vagy m 1-es, akkor sor-, illetve oszlopvektornak nevezzük. 1 0 Négyzetes mátrix: 4 2 5 1 5 2 0 1 4 1 3 1 0 . 0 Spec. esete az egységmátrix: E = , 0 1 . 0 0 0 . 1 Sorvektor: Oszlopvektor: (-2 5), 1 4 5 (2 3 -3); 2 7 Összeadás: csak az azonos típusú mátrixokat lehet

összeadni Két m n típusú A és B mátrix összegén azt az m n típusú C mátrixot értjük, amely i-edik sorának j-edik oszlopában áll aij, bij elemek összege, azaz: cij = aij + bij, i = 1, , m; j= 1, ., n Például: 2 A= 0 1 2 3 1 ;B= 3 1 0 4 2 2 , ekkor A + B = 3 0 2 1 1 0 Szorzás: csak olyan két mátrixra vonatkozik, ahol az els mátrixnak annyi oszlopa van, ahány sora a másodiknak Az A m n típusú és a B n l típusú mátrixok AB szorzatán azt a m l típusú C mátrixot értjük, melyben cij = ai1b1j + ai2b2j + + ainbnj (i = 1, , m; j = 1, , l) Azaz: (aij)m n(bij)n k = (cij) m k ,ahol n cij = (i = 1, , m; aik bkj k 1 j = 1, , l) * = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 A mátrixok szorzásának tulajdonságai (A B) C = A (B C), vagyis a mátrixok szorzása asszociatív. AB B A, azaz a mátrixok szorzása nem kommutatív, ez következik a definícióból is, hiszen például egy A 3 5 típusú mátrixot és egy B 5 4 típusú mátrixot össze

tudunk szorozni, de a B-t A-val már nem. Egy v valós szám és egy A mátrix szorzatán azt a mátrixot értjük, melyet A-ból úgy kapunk, hogy A minden elemét v-vel szorozzuk. 12 9 Például: 3 4 3 8 0 24 0 Definíció: Az A négyzetes n n mátrix inverzén értjük azt a négyzetes n n A-1 mátrixot, amelyre teljesül, hogy A A-1 = E Pl. 1 0 1 0 1 0 * 2 1 = 0 1 2 1 (értelemszer en a két mátrix egymás inverze) x y Vizsgált pont a koordinátasíkon (oszlopvektorként): x y A transzformáció melletti képe (képpont): Transzformációmátrix általános alakja: A transzformáció egyenlete: A A x x y y a11 a12 a21 a22 (használatos a sorvektorként való felírás is, akkor értelemszer en jobbról szorzunk) x a11x a21x a12 a22 1 0 A E 0 1 A 1 0 0 1 identikus transzformáció 1 0 0 1 x y x y origóra történ középpontos tükrözés A 1 0 0 1 1 0 x 0 1 y x-tengelyre történ tükrözés x y 1 0 A 0 1 0 A

y-tengelyre történ tükrözés 0 0 1 x y x y 1 0 x x 0 1 mer leges affinitás (t = y) (léptékváltás x mentén!) A 1 0 0 0 y y mer leges affinitás (t = x) (léptékváltás y mentén!) A A 0 1 0 1 x y 1 0 1 0 y x x=y egyenesre történ tükr. cos sin cos sin x x cos y sin sin cos sin cos y x sin y cos origó körüli elforgatás szöggel pozitív irányba Példák: 900-os elforgatás, 450-os elforgatás, 600-os elforgatás (sin 600 = 0,866, cos 600 = 0,5) (origóból mi lesz?) Az eltolás nem adható meg 2x2-es mátrixszal. Megoldás: 3x3-as mátrixok bevetése Ehhez szükségszer az eddigiek adaptálása: - pontok megadása 3x1-es oszlopmátrixokként - eddigi transzformációk megadása 3x3-as mátrixokként Def.: ha h 0, akkor az (x,y,h) számhármast a x y P , síkbeli pont homogén koordinátáinak h h nevezzük. Egy adott pontnak végtelen sok homogén koordinátás alakja van. => normalizált homogén koordináták

Def.: Egy síkbeli P (x,y) pont normalizált homogén koordinátáin a P (x,y,1) számhármast értjük. => geometriai transzformációk: a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 x y 1 x' y' h a11 a12 0 x a11 x a12 y a21 a22 0 y a21 x a22 y 0 0 1 1 1 13 23 a13 x x a13 a 23 y y a23 1 0 0 x x 0 1 0 0 0 a33 y 1 y a33 azaz normalizált homogén koordinátákkal: (x/a33, y/a33, 1) (1/a33-szoros nagyítás/kicsinyítés) 1 0 0 x x 0 a31 1 a32 0 1 y 1 y a31 x a32 y 1 azaz normalizált homogén koordinátákkal: (x/(a31x+a32y+1), y/ /(a31x+a32y+1), 1) Egy ismert pont-képpont pár (illesztési pont) segítségével két egyenlet írható fel, melyben az együtthatók lesznek az ismeretlenek => Kiszámítható, hogy ((n+1)*(n+2))/2 számú illesztési pont szükséges a transzformációs mátrix egyértelm megadásához, ahol n a polinom fokszámát (x, y legmagasabb hatványkitev jét) jelöli This document was

created with Win2PDF available at http://www.daneprairiecom The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only