Information Technology | Telecommunication » A mobil rádiócsatorna jellemzése

A mobil rádiócsatorna jellemzése A mobil rendszerek vizsgálatának egyik alapvető kérdése az adó és vevő között elhelyezkedő rádiócsatorna megfelelő leírása, hiszen ennek segítségével határozhatjuk meg az adó jelének ismeretében a vett jelet. Az univerzális leírás érdekében célszerű azonban a rádiócsatorna leírását függetleníteni az adott rendszerben alkalmazott frekvenciasávtól és a vizsgálatokat az alapsávban végezni. Ehhez meg kell határozni, hogy miként lehet a vivőfrekvenciás jelek alapsávi ekvivalensét előállítani, illetve a mobil rádiócsatorna vivőfrekvenciás leírását transzformálni kell az alapsávba. A fenti feladat megoldásához ebben a fejezetben a mobil rádiócsatorna vivőfrekvencia-független leírásának módszerét ismertetjük két lépésben. Először bemutatjuk a sávhatárolt jelek ekvivalens alapsávi leírását, majd a sávhatárolt rendszerek alapsávba történő transzformációját.

Sávhatárolt jelek ekvivalens alapsávi leírása, komplex alapsávi jelkezelés A sávhatárolt jelek általános alakját az s(t ) = a(t ) cos( ω 0 t + ϕ (t ) ) kifejezés adja meg, ahol ω 0 a vivőfrekvencia s amely felbontható az s(t ) = sI (t ) cos(ω 0 t ) − sQ (t ) sin(ω 0 t ) összetevőkre, ahol sI (t ) = a(t ) cos( ϕ (t ) ) a normál ( in phase) komponens, sQ (t ) = a(t ) sin( ϕ (t ) ) a kvadratúra (a koszinuszos vivőre merőleges szinuszos) komponens. Mivel s I (t) és s Q (t) tipikusan lassan változó (alapsávi) jelek az ω 0 vivőhöz képest, ezért az ekvivalens alapsávi komplex jel az sekv (t ) = s I (t ) + j sQ (t ) alakban írható fel, és igaz, hogy { } s(t ) = Re sekv (t ) e jω 0t . Vezessük be a következő elnevezéseket. Jelölje sekv (t ) a sávhatárolt jel komplex alapsávi ekvivalensét és sekv (t ) e jω t az s(t) függvény komplex előburkolóját. Ez a leírás nem jelent mást, mint a jel fazoros ábrázolását. Írjuk fel az

sekv (t ) ekvivalens alapsávi jelet az a (t ) amplitúdójának és a ϕ (t ) fázisának segítségével 0 sekv (t ) = s I (t ) + j sQ (t ) = a (t ) ⋅ e jϕ ( t ) . 19 A jel amplitúdója és pillanatnyi fázisa a következőképpen számítható a (t ) = s I2 (t ) + sQ2 (t ) , ϕ (t ) = arctg sQ (t ) s I (t ) mod 2π . A vivőfrekvenciás jelet és komplex alapsávi megfelelőjét mutatják a 3.1a és 3.1b ábrák Jól látható az alapsávi jelkezelés előnye, hiszen a vivőfrekvenciás jel ábrázolásakor a komplex frekvencia sík ω 0 szögsebességgel forog, míg a 3.1b ábrán a vivőfrekvenciától megszabadulva a jelet leíró fazor áll. sekv (t ) e jω 0t sekv(t) Im{} Im{} a(t) a(t) sQ(t) a(t ) ⋅ sin(ω 0 t + ϕ (t )) (ω 0 t + ϕ (t )) mod 2π ϕ(t) sI(t) s(t ) = a (t ) ⋅ cos(ω 0 t + ϕ (t )) Re{} ω0 szögsebességgel Re{} 0 szögsebességgel forgó sík forgó sík 3.1a és 31b ábrák A vivőfrekvenciás és az alapsávi jel fazoros

ábrázolása Tételezzük fel, hogy létezik az s(t) jel Fourier-transzformáltja S ( f ) = F { s(t )} , mely a következőképpen számítható +∞ S( f ) = ∫ s(t )e− j 2πft dt , −∞ illetve s(t) az inverz Fourier-transzformáció segítségével határozható meg +∞ s(t ) = ∫ S( f )e j 2πft df . −∞ Amennyiben s(t) valós, akkor teljesül, hogy S ( f ) = S * (− f ) . Vizsgáljuk meg az alapsávi ekvivalens jel Fourier-transzformáltját! Mivel az s ekv (t) komplex, így nyilvánvalóan most már nem áll fenn a komplex konjugált szimmetria, azaz * Sekv ( f ) ≠ Sexv (− f ) . 20 Térjünk vissza a korábbi egyenletünkhöz { s(t ) = Re sekv (t ) e j 2π f 0t } ; ω = 2π f 0 0 Ismert, hogy komplex számok esetén a valós rész képzése a szám és komplex konjugáltjának segítségével az alábbi módon történik s( t ) = 1 * sekv (t ) e j 2π f 0t + sekv ( t ) e − j 2π f 0t . 2 [ ] Képezzük mindkét oldal

Fourier-transzformáltját az eltolási tétel alkalmazásával. A jobb oldal első tagjára +∞ F {sekv (t )} = ∫ ( u(t ) + j v(t ) ) e − j 2π ft dt = S ekv ( f ) . −∞ A második tag esetén a Fourier-transzformált az alábbi módon határozható meg +∞ * F {sekv (t )} = ∫ ( u(t ) − j v (t ) ) e − j 2π ft dt = −∞ *   +∞ * =  ∫ ( u(t ) + j v (t ) ) e j 2π ft dt  = S ekv ( − f ).   −∞ Így az eltolási tétel alkalmazásával s(t) Fourier-transzformáltjára a következő eredményt kapjuk S( f ) = 1 * S ekv ( f − f 0 ) + S ekv ( − ( f + f 0 )) , 2 [ ] ha sekv ( t ) = 0 minden olyan f frekvencián amire | f | ≥ B , ahol B az alapsávi jel sávszélességét jelöli. A fentiek alapján a jelek a frekvenciatartományban a 3.2 ábrán látható módon kapcsolódnak egymáshoz. Sekv(f) Im{} Re{} -B -B f S(f) 1 * Im{} Sekv ( − ( f + f 0 )) 2 -f0-B Re{} f0 -f0+B 1 Sekv ( f − f 0 ) 2 Re{} Im{} f0-B f0 f0+B f

3.2 ábra Az ekvivalens alapsávi jel frekvenciatartománybeli ábrázolása 21 A 3.2 ábrán jól látható, hogy az ekvivalens alapsávi jel spektruma az s(t) jel spektrumának pozitív frekvenciára eső részével áll közvetlen kapcsolatban (f 0 -lal eltolt spektrum). Ezért vezessük be azt az s+ (t ) komplex jelet, amely csak a pozitív spektrális összetevőket tartalmazza s+ (t ) ⇔ S + ( f ) = S ( f ) + sgn( f ) S ( f ) , illetve s+ (t ) Fourier-transzformáltja S+ ( f ) = S( f ) + j ( − j sgn( f ) ) S( f ) . A H ( f ) = - j sgn( f ) függvény nem más, mint az Hilbert-transzformálás átviteli függvénye, melyet a 3.3 ábrán látható Hilbert-szűrővel ír le a szakirodalom. s(t) H {s(t)} j -j S(f) f S ( f ) ⋅ (- j sgn( f )) H(f) 3.3 ábra A Hilbert-szűrő A Hilbert-szűrő súlyfüggvénye a következő h (t ) = F −1 {− j sgn( f )} = 11 , πt míg a konvolúciós integrál +∞ H {s(t )} = 1 ∫ s(τ ) dτ . π −∞ t − τ

Visszatérve s+ (t ) meghatározásához, egyszerűen látható, hogy és S + ( f ) = S ekv ( f − f 0 ) S ekv ( f ) = S + ( f + f 0 ) . Az időtartománybeli megfelelők pedig ezek alapján az alábbiak s+ (t ) = sekv (t ) e j 2π f 0 t , sekv (t ) = s+ (t ) e − j 2π f 0 t . Korábban viszont láttuk, hogy { } s(t ) = Re sekv (t )e j 2π f 0t = Re{s+ (t )} , azaz s+ (t ) nem más mint az s(t) komplex előburkolója. A következőkben megvizsgáljuk a komplex alapsávi jelek előállításának elméleti és gyakorlati lehetőségeit. Az elméleti előállításhoz nem kell mást tennünk, mint az s(t) jelet átvezetni egy Hilbert-szűrőn majd hozzáadni a szűrés 22 előtti s(t) jelhez. Így megkapjuk az s+ (t ) jelet, amit e − j 2π f t -vel szorozva jutunk a komplex alapsávi jelhez. A fenti műveleteknek a 34 ábrán látható struktúra feleltethető meg. 0 sI(t) s(t) sekv(t)=sI(t)+jsQ(t) H{} e-j 2π f0t sQ(t) 3.4 ábra A komplex alapsávi jel elméleti

előállítása Nyilvánvaló, hogy Hilbert-szűrőt a valóságban nem lehet készíteni, ezért szükséges a komplex alapsávi ekvivalens előállításának gyakorlati módszerét is bemutatni. Mindenekelőtt tekintsük át egy f(x) függvény Dirac-függvénnyel való konvolúciójának szabályait +∞ f ( x)∗ δ ( x) = ∫ f (σ ) δ ( x − σ ) dσ = f ( x) , −∞ +∞ f ( x − x0 )∗ δ ( x + x0 ) = ∫ f (σ − x0 ) δ ( x + x0 − σ ) dσ = f ( x) , −∞ +∞ f ( x − x0 )∗ δ ( x − x0 ) = ∫ f (σ − x0 ) δ ( x − x0 − σ ) dσ = f ( x − 2 x0 ) . −∞ A fentiek ismeretében moduláljuk az s(t) jellel a 2 cos(2π f 0 t ) vivőt. Ekkor a modulált jel Fourier-transzformáltja S ( f )∗[δ ( f − f 0) + δ ( f + f 0 )] = alakú, figyelembe véve, hogy a koszinuszos jel Fourier-transzformáltja Diracfüggvény. Ez S ( f ) -et felbontva tovább írható  1 =  ( S ekv ( f − f 0 ) + S * ( − ( f + f 0 )) ∗[δ ( f − f 0 ) + δ (

f + f0 )] = ekv  2 alakban, amiből = 1 * * ( S ekv ( f − 2 f 0 ) + S ekv ( f ) + S ekv ( − f ) + S ekv ( − f − 2 f 0 )) . 2 [ ] Ha a jel sávkorlátozott, azaz S ( f ) = 0 , ha |f-f 0 |>B, akkor a kétszeres frekvenciás komponenseket kiszűrve a modulált jel Fourier-transzformáltja 23 S( f )∗[δ ( f − f 0) + δ ( f + f 0 )] = 1 * Sekv( f ) + Sekv (− f ) . 2 [ ] Tudjuk azonban, hogy F 1 1 * Sekv( f ) + Sekv ( − f ) ⇔ sI (t ) + j sQ (t ) + sI (t ) − j sQ (t ) = sI (t ) . 2 2 [ [ ] ] A fentiekhez hasonlóan határozhatjuk meg az s(t) jellel modulált 2 sin(2π f 0 t ) vivő esetén a s(t ) 2 sin( −2π f 0 t ) ⇔ sQ (t ) szûré s kapcsolatot. Összegezve eredményeinket a 3.5 ábrán a komplex alapsávi jel gyakorlati előállítását mutatjuk be. sI(t) -B B 2 cos(2πf 0 t ) s(t) −2 sin(2πf 0 t ) sQ(t) -B B 3.5 ábra A kvadratúra komponensek előállítása a gyakorlatban Sávhatárolt átviteli rendszer Az előző

alfejezetben megismerhettük a vivőfrekvenciás jelek komplex alapsávi kezelését, illetve a komplex alapsávi jel előállításának módját. A mobil rádiócsatorna leírásához, azonban nem elegendő egyes jelek alapsávi leírása, szükség van az egész csatorna alapsávi megfelelőjének ismeretére. Ezért a következőkben sávhatárolt rendszerekre végzünk az előzőekhez hasonló vizsgálatokat. Célunk annak meghatározása, hogy miként rendelhető a 36a ábrán látható rendszerhez a 3.6b ábra ekvivalens alapsávi rendszere A 36a ábrán s(t) és r(t) jelöli a rendszer bemenő illetve kimeneti jelét, valamit h(t) a rendszer súlyfüggvényét. s(t) h(t) r(t) ⇔ sekv(t) hekv(t) r ekv(t) 3.6a és 36b ábrák Sávhatárolt rendszer és ekvivalens alapsávi megfelelője Az előző fejezetben leírtakhoz hasonlóan a sávhatárolt átviteli rendszer H ( f ) átviteli függvényére is igaz, hogy * H ( f ) = H ekv ( f − f 0 ) + H ekv ( −( f + f 0 )) ,

24 amiből a súlyfüggvényre { h(t ) = 2 Re hekv (t ) e j 2π f 0 t } adódik. A rendszer hatása a bemenő jelre az alábbi módon írható le R( f ) = = 1 * Rekv ( f − f 0 ) + Rekv (− f − f 0 ) = 2 [ ] 1 * * S ekv ( f − f 0 ) + S ekv ( − f − f 0 ) ⋅ H ekv ( f − f 0 ) + H ekv (− f − f 0 ) . 2 [ ][ ] Az alapsávi sávhatárolás után a magasabb frekvenciás összetevőket kiszűrve a kimenő jel R( f ) = = 1 1 * * S ekv ( f − f 0 ) H ekv ( f − f 0 ) + S ekv ( − f − f 0 ) H ekv (− f − f 0 ) = 2 2 1 * Rekv ( f − f 0 ) + Rekv (− f − f 0 ) , 2 amiből nyilvánvalóan következik, hogy Rekv ( f ) = Sekv ( f ) H ekv ( f ) . Most már meg tudjuk határozni a kimenő jel rekv (t ) alapsávi ekvivalensét [ ][ ] rekv (t ) = sekv (t )∗ hekv (t ) = s I (t ) + j sQ (t ) ∗ hI (t ) + j hQ (t ) = ami tovább alakítható a zárójelek felbontásával [ ] = s I (t )∗ hI (t ) − sQ (t )∗ hQ (t ) + j s I (t )∗ hQ (t ) + sQ

(t )∗ hI (t ) . Ez utóbbi eredmény az alapsávi ekvivalens szűrést testesíti meg, aminek ismeretében a kimenő jel időfüggvénye egyszerűen meghatározható { } r (t ) = Re rekv (t ) e j 2π f 0 t = rI (t ) cos(2π f 0 t ) − rQ (t ) sin(2π f 0 t ) . A 3.7 ábrán az ekvivalens alapsávi átvitelt mutatjuk be Az ábrán látható szűrők, mint azt korábban láttuk aluláteresztő típusúak. Az ábra három blokkra bontható. Az első valósítja meg a vivőfrekvenciás jel alapsávi ekvivalensének előállítását, a második blokk képviseli a rádiócsatorna alapsávi ekvivalensét, míg a harmadik a csatorna kimenet vivőfrekvenciás jelének visszaállítását biztosítja. 25 ekvivalens alapsávi csatorna sI(t) hI(t) rI(t) szûrõ s(t) hQ(t) 2 cos(ω 0 t ) −2 sin(ω 0 t ) sQ(t) -hQ(t) 2 cos(ω 0 t ) −2 sin(ω 0 t ) r(t) szûrõ hI(t) 3.7 ábra Az alapsávi ekvivalens átvitel vázlata (a szűrő aluláteresztő típusú) 26