Physics | Mechanics, Quantum mechanics » Horváth Árpád - Kvantummechanika

Kvantummechanika Fizika II. Horváth Árpád <horvath.arpad@szgtibmfhu> Budapesti Műszaki Főiskola Kvantummechanika – Fizika II. – p Nehézségek A kvantummechanikában sokminden ellentmondásban van a hétköznap megszokott dolgokkal. A kvantummechanika viszont működik. Nélküle nem lenne mikroelektronika, nem lennének elméletileg magyarázhatóak olyan tények, mint az atommag bomlása, szupravezetés, alagútdióda. Kvantummechanika – Fizika II. – p Az igazi kvantummechanika 1925 körül: Mártixmechanika (Heisenberg) Hullámmechanika (Schrödinger) Integrálegyenlettel (Lánczos Kornél) Kvantummechanika – Fizika II. – p Lineáris operátorok Szükségünk lesz pár fogalomra: Az f : A A függvényt lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely φ1 , φ2 ∈ A és a, b számok esetén a) f (aφ1 + bφ2 ) = a f (φ1 ) + b f (φ2 ). Azt a lineáris leképezést, mely függvényből függvényt hoz létre és lineáris operátornak

nevezzük. Ha A a lineáris operátor és a egy szám, és Aφ(x) = aφ(x), akkor φ(x)-et A sajátfüggvényének nevezzük, a-t a φ(x)-hez tartozó sajátértékének. Kvantummechanika – Fizika II. – p Részecske hullámfüggvénye Egy dimenziós eset időfüggés nélkül. A részecske állapotát egy időpillanatban egy Ψ(x) állapotfüggvény adja meg, amely eleget tesz a később említendő Schrödinger-egyenletnek. Ez tartalmaz minden adatot a részecskéről. Egy szabadon mozgó részecske esetén (amely minden vonzó testtől távol van, a helyzeti energia mindenhol 0) a megoldás lehet például koszinuszos. A koszinuszos függvény egyszerűbben kezelhető, ha az alábbi komplex számként írjuk, és csak a valós résznek tulajdonítunk fizikai tartalmat. (villanytanban is gyakori) Ψ(x) = re jkx = r(cos(kx) + j sin(kx)) k = 2π/λ Kvantummechanika – Fizika II. – p Mérés a részecskefizikában A fizikai mennyiségeknek lineáris operátorok

felelnek meg. Csak olyan esetben kapok minden méréskor azonos értéket, hogyha az állapotfüggvény az operátor sajátfüggvénye. Ilyenkor a sajátértéket kapjuk méréskor Ha az állapotfüggvény több sajátfüggvény lineáris kombinációja: Ψ(x) = ∑ cn φn (x), Akkor az összegzett sajátfüggvények sajátérétékeinek akármelyikét felveheti a mért érték c2n valószínűséggel (∑ c2n = 1). Kvantummechanika – Fizika II. – p Egy példa, az impulzus Az lendületnek (impulzusnak) a hullámmechanikában a d p̂ = h̄j dx operátor felel meg. Mérjünk először lendületet. h̄ d(re jkx ) h̄ p̂Ψ(x) = = jkre jkx = kh̄Ψ. j dx j A Ψ sajátfüggvény a de-Broglie egyenletből ismerős sajátértékkel: 2π p = kh̄ = h̄ λ h p= . λ Kvantummechanika – Fizika II. – p Határozatlansági reláció A fenti példában lendület pontosan mérhető, a helyre viszont semmi nem mondható. Ha hullámcsomagot veszek, akkor a hely valamilyen

pontossággal meghatározható, de – mivel a hullámcsomag több szinusz összegeként áll elő (Fourier-sor) – a lendületmérésre több érték jöhet ki. Kvantummechanika – Fizika II. – p Határozatlansági reláció Összességében megállapítható, hogy a helymérés ∆x pontosságának és a lendületmérés ∆px pontosságának szorzata nem lehet akármilyen kicsi, szorzatukra a Heisenberg-féle határozatlansági reláció igaz: ∆x · ∆px ≈ h Hasonló kapcsolat igaz az energia és az időtartam között: ∆E · ∆t ≈ h (Rövid idejű energiaszintek kiszélesedése virtuális részecskék rövid időre rövid felezési idejű részecskék félértékszélessége) Kvantummechanika – Fizika II. – p A Schrödinger-egyenlet (6 t, 1D) Időfüggetlen 1 dimenziós változat: ∂2 Ψ 2m − 2 (E −U)Ψ = 0 2 ∂x h̄ Kvantummechanika – Fizika II. – p 1 A potenciálgödör  0, ha 0<x<a U= ∞, különben A megoldások olyan

szinuszfüggvények, amelyek a falnál 0 értéket vesznek fel.   λ 2π nπ nπ a = n· = ψ(x) = sin x 2 λ a a n h pn = = λ 2a 1 p2 n2 En = = 2m 8ma2 Kvantummechanika – Fizika II. – p 1 Az alagúteffektus Kvantummechanika: a szélességű U magasságú potenciálgáton az E energiájú részecske (E < U) az alábbi valószínűséggel jut át: P ∼ e−a(U−E) Klasszikus mechanika: Ha a potenciálgátnál kisebb a részecske energiája, nem jut át. Alkalmazásai: alagútdióda, α-bomlás magyarázata. Kvantummechanika – Fizika II. – p 1 Az elektronfelhők Kvantummechanika – Fizika II. – p 1