Mechanical engineering | CAD / CAM » Dr. Renner Gábor - CAD technológiák II.

CAD T e c h n o l ó g i á k II. Dr Renner Gábor Budapesti Műszaki Egyetem 2007 Felületmodellezés Matematikai analízis: függvény forma Geometriai modellezés: alak, forma mat. leírás, függvény 1. Reprezentációk matematikai alakja - explicit: y = f(x) (y = ax + m, y = ax2 + bx + c z = f(x,y) y = ± √ r2 – x2 ) - implicit: F(x,y) = 0, F(x,y,z) = 0 egyenes: ax + by + c = 0 kúpszelet: ax2 + by2 + cx + dy + exy + f = 0 sík: ax + by + cz + d = 0 - parametrikus: r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k 2. Tulajdonságok: - kiértékelhetőség - koordináták szimetriája - geometriai teljesítőképesség - többértékűség - hurok - sziguláris meredekség - csúcs, él - egységes adatstruktúra pl. y = a, x = b, ax + by + c = 0 - egyértelmű reprezentáció implicit majdnem, parametrikus nem - tárolás igény 3. CAD reprezentáció: implicit (hagyományos gépészeti geometria), parametrikus (komplex geometria) 4. Leíró fügvény: polinomok (alacsony

fokszám) - egyszerű, egységes megadás, tárolás - könnyű kiértékelés +a1x + a0 = Horner: F(x) = anxn + an-1xn-1 + = ((( anx + an-1 )x + an-2 )x + )x + a0 - folytonosság, differenciálhatóság mindenütt - derivált, integrál azonos függvényosztály 5. Módszerek M (A) = módszer diszkrét adat F(t), F(u,v) folytonos görbe, felület - interpoláció – approximáció - simaság – folytonosság (geometriai elemeken belül és csatlakozásuknál) - lokális – globális - alak kontrollja - egyszerű geometriai elemek befoglalása - bemenő adatok - bonyolult – egyszerű - direkt – iteratív - geometriai, fizikai, műszaki tulajdonságok leképezése Bèzier módszer Polinomiális görbék p(t ) = ∑ Pi pin (t ) = Pn t n + Pn−1t n−1 + K + P1t + P0 , ahol p i (t ) = t i n i =0 Polinomiális görbe és kontrollpontjai Bèzier görbék Az n-edfokú p(t) Bèzier görbe a (P0, P1,Pi, Pn) kontrollpontok n n által meghatározott térgörbe: p(t ) = ∑ Pi

Bi (t ) i =0 Bernstein-polinomok: ⎛n⎞ Bin (t ) = ⎜ ⎟ t i (1 − t )n −i ⎝i⎠ Bim (t ) ≡ 0 (i ∉ [0, n ]) (0 ≤ t ≤ 1) n! ⎛n⎞ = ⎜i⎟ ⎝ ⎠ i!( n − i )! 0! = 1 ⎛n⎞ ⎝i⎠ Az ⎜⎜ ⎟⎟ binomiális együttható a Pascal-háromszög n-edik sorának i-edik eleme (i=0,1,,n). A Pascal-háromszög rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy minden eleme a közvetlen felette lévő két érték összege, és az n-edik sorban lévő elemek összege éppen 2n. 0 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 1 3 6 10 1 4 10 1 5 1 A Pascal-háromszög B (t ) : 3 i Harmadfokú Bernstein bázisfüggvények Geometriai (tervezési) tulajdonságok: végpontinterpoláció B 0n (0) = 1, B in (0) = 0 (i = 1,K, n ) p(0) = P0 B0n (t ) = (1 − t )n B nn (1) = 1, B in (1) = 0 (i = 0,K, n − 1) p(1) = Pn Bnn (t ) = t n konvex burok A P0, P1, Pn pontok konvex burka: n x = ∑ α i Pi α i ≥ 0, i =0 n ∑α = 1 i =0 i a Bézier görbe benne

halad a kontroll pontok konvex burkában Bin (t ) ≥ 0 n ⎛n⎞ i n ⎜⎜ ⎟⎟t (1 − t )n − i = [t + (1 − t )]n ≡ 1 = ( ) B t ∑ ∑ i i =0 i =0 ⎝ i ⎠ n (binomiális tétel) Konvex burok maximum az i-edik kontroll pont maximális hatása a görbére t=i/n-ben van [ ] ⎛n⎞ d n n −i −1 =0 Bi (t ) = ⎜⎜ ⎟⎟ it i −1 (1 − t ) n −i − (n − i )t i (1 − t ) dt ⎝i⎠ i (1 − t ) − t ( n − i ) = 0 ⇒ t = i n görbe felosztása Harmadfokú görbe felosztása oszcilláció csökkentés (variation diminishing) egy tetszőleges egyenes a Bèzier-görbét legfeljebb annyi pontban metszi, mint a kontrollpoligonját mátrix reprezentáció [ ] p(t ) = t n , t n −1,K, t ,1 B [P0 , P1,K, Pn ]T 3 −3 ⎡− 1 ⎢ 3 −6 3 3 2 p(t ) = t , t , t ,1 ⎢ 3 0 ⎢− 3 ⎢ 1 0 0 ⎣ [ ] 1⎤ ⎡P0 ⎤ 0⎥ ⎢ P1 ⎥ 3 3 ⎥ ⎢ ⎥ = ∑ Bi (t ) Pi 0⎥ ⎢P2 ⎥ i = 0 0⎥⎦ ⎢⎣ P3 ⎥⎦ interpoláció p(ti ) = Qi i = 0,1,.,n n

∑ P B (t ) = Q j =0 j n j i i lineáris egyenletrendszer Qi - re Interpoláló görbe Bèzier felületek m ⎡ n m ⎤ m n p(u, v ) = ⎢ Pij B j (u )⎥ Bi ( v ) = Pi (u ) Bim ( v ) ⎥⎦ i =0 ⎢ i =0 ⎣ j =0 ∑ ∑ ∑ n ahol Pi (u ) = ∑ Pij B nj (u ) j =0 Bèzier felület u, v ∈ [0,1] Parametrikus tervezés Tervezési módosítások, konstrukcióvariánsok Statikus ↔ dinamikus geometriai modell Parametrikus modell - változók (P) - összefüggések, kapcsolatok (K): geometriai ( algebrai, =, ≠, <, > ) logikai, fizikai - korlátok, megszorítások (M) - konstrukciós lépések Parametrizálás - geometriai - strukturális (topológia) Paraméterhálózat P, K, M struktúra - teljesen határozott, 0 szabadságfokú - alulhatározott (optimalizálás) - túlhatározott elemzése, redundancia, ellentmondás megszüntetése Parametrikus modell létrehozása, kezelése méretparaméterek, összefüggések, - adatorientált korlátok

értékek, új modell generálási algoritmus program - eljárásorientált értékek , új modell Paraméterhálózat kiértékelése - szekvenciális, szerkesztést követő szerkesztés + dinamikus (gumiszerű) deformáció mestergeometria (geom. param + konstrukciós lépések) - egyidejű megoldás variációs geometria, nemlineáris egyenletrendszer, linearizálás sorrend független megadás, ciklikus megszorítások hierarchikus lebontás - szabály alapú (M, K), mesterséges intelligencia: következtetés Alaksajátosság alapú tervezés Hagyományos geometriai modellezés elvi korlátai: - alacsony szintű modellelemek - nem teljes leírás ( mikro-geometria, fizikai jellemzők) - koncepciók leírása, értelmezése nincs - integrált tervezést nem támogatja Sajátosság: szemantikai (tervezés, megmunkálás) tartalmak - minőségi, mennyiségi jellemzők - kényszerek - összefüggések Sajátosság fajai: - alaksajátosság ( geometria által indukált) -

jelenségsajátosság - folyamatsajátosság - működéssajátosság Sajátosság története: - számítógépes rajzolás - modellezés - intelligens CAD - tudás formalizálása Sajátosságok értelmezése 1.) Geometriai szemléletű logikailag összetartozó (tervezés, megmunkálás, szerelés, stb.) geometriai egységek csoportja nem egyértelmű: borda ↔ üreg tervezés alaksajátossággal + alaksajátosság felismerése követelmények CAD rendszerrel szemben: - definiálást, szerkesztést támogató funkciók; - alaksajátosság adatbázis ( geom. kapcs) - transzformálás a geometriai modellre 2.) Alkalmazás (szemantikai) szemléletű attributív információk: - alaklétrehozó (hordozó alakzat) - alakmódosító - alakfüggetlen (mérettűrés, felületkezelés, rétegfelhordás) - alaksemleges (anyagminőség, hőkezelés) felület, csoport, alkatrész, alkatrészcsoport orientált attribútumok kezelése: - szemantikus + geometriai adatstruktúra -

objektumorientált ( osztály ) - generikus , geometriai leírás fajai: (szemantikus tartalom szerint) - koncepcionális alaksajátosság geometriai absztrakció - konstrukciós alaksajátosság működés (tervezés gyártási művelettel) - gyártástechnológiai alaksajátosság - szerelési alaksajátosság - elemzési alaksajátosság ( helyettesítő, közvetítő) 3.) Ontológikus szemléletű sajátosságok kapcsolata, levezethetősége, eredete sajátosság tér termékleírási nyelv magas szintű egységei Alaksajátosságok reprezentálása Geometriai + szemantikai adatszerkezetekú 1.) Térfogati - elemi test kompozíció (CSG) előny: egyszerű paraméterezés, tűrésezés térfogatok gyártási anyagleválasztás hierarchia megmunkálási sorrend valóságszerű a.s módosítások (anyagszerű) - hátrány: összeépülés ellenőrzése többféle létrehozás alacsonyabb szintű T és G nem hozzáférhető ahhoz attribútum nem rendelhető 2.) Palást - lapok,

élek, csúcsok csoportja (T+G) - zárt, nyitott - előny: - G és T információ explicit, közvetlen elérés - felületek megmunkálási attributumok - lokális módosítás - hátrány: - nagy tároló igény - geometriai korrektség ellenőrzése 3.) Parametrikus - geometriai, parametrizálás - funkcionális parametrizálás, pl: terhelés 4.) Gráf alapú közbenső modell ( geom. modell és alkalmazási as modell között) alaksajátosság gráf: alapegység ⇔ szomszédsági gráf (attribútumok) (lap, él) konvex élsorozat: kihúzás konkáv élsorozat: benyomódás alaksajátosság: részgráf 5.) Szimbólikus Geometriai leírásra épül, (geometria: inplicit) Szemantikai tartalom: explicit > leírónyelv Alaksajátosság osztályok, változatok megadása Tudásábrázolás, feldolgozás Koncepció ábrázolása 6.) Hibrid (kombinált) - reprezentációk: összekapcsolása átalakítása levezetése ( ontológia) pl: térfogati + palást + (gráf) szimbolikus +

palást - alkalmazási alaksajátosságok halmazai: 1. azonosak, 2 átfedők, 3 különbözőek - transzformációk: azonossági (konstrukció - technológia) projekciós (információ elhagyás – éles sarok-lekerekítés) hozzárendelő (információ részhalmazok megfeleltetése, FEM) absztrakciós (információ elhagyás) konverziós (információ átértelmezés) Alaksajátosságok kezelése Osztályozás - egyszerű – összetett - explicit – implicit - tartalom Definiálás - grafikus interaktív - programozható CAD rendszerek - makrók képzése Tárolás kombinált adat és szimbólumstruktúra formái: - modelladatbázis kiegészítése lazán csatolt (külső adatmodell) szorosan csatolt (belső adatmodell) - alaksajátosság adatbázis objektumorientált leképezés semleges formátumú leképezés Felismerés célja: alaksajátosság inf. kinyerése CAD modellekből szemantikai inf. modellelemek módjai: - interaktív - automatikus: - determinisztikus

(algoritmikus) mintadefiniálás extrakció értelmezés - heurisztikus szemantikus összefüggések, szabályok alapprobléma: a.s egymásrahatása érvényességvizsgálat felismerés bonyolultsága: ( modell+a.s összetettség) Beépítés G. M (befogadó alakzat) + Geometriai as teljes modell pozícionális, dimenzionálás összefüggések hierarchikus Kompozíció alaksajátsságok szisztematikus morfológiai - szemantikai összerendezése hierarchikus modellgenerálás magas szntű tervezési nyelv Integrált kezelés kombinált a.s kezelés ( beépítés + felismerés) átfogó termékinformációs modellek Genetikus algoritmusok a számítógépes tervezésben Konstrukciós tervezés rutin tervezés: struktúra ismert, paraméterek meghatározása kreatív tervezés: struktúra és paraméterek ismeretlenek optimalizálás: sok tervezési paraméter komplex, nemlineáris, ismeretlen összefüggések sok lokális extrémum Optimalizási módszerek 1. Klasszikus:

gradiens módszer lokális optimum, kezdő pont függés, sima célfüggvény, gradiens számítás szükséges, hatékony 1. Sztochasztikus: szimulált hűtés rossz megoldás elfogadása (hőmérséklet) esély a globális optimumra Természetes evolúció genetikus algoritmus (GA) populáció, kromoszóma, gén, célfüggvény, szelekció, öröklés, mutáció, genetikus paraméterek GA folyamata kezdeti populáció létrehozása kezdeti populáció kiértékelése ciklus egyedek kiválasztása keresztezésre keresztezés mutáció reprodukció új egyedek kiértékelése válogatás, új populáció létrehozása leállási kritérium, ciklus vége Genetikus reprezentációk bitsorozat, valós, vektor (2D,3D), mátrix keresési teret meghatározza termékspecifikus információ Genetikus operátorok 1. Keresztezés (öröklés) keresztezési pont (véletlenszerű) egy-pont, több-pont, egyenletes, ciklikus, aritmetikai egyed 1 egyed 2 egy pont két pont egyenletes

2.Mutáció (változékonyság) egy véletlenszerűen választott gén kismértékű megváltoztatása 3.Reprodukció legjobb egyedek megőrzése Célfüggvény kiértékelése számítása a GA-ban különálló számítások (FEM) tervezői (interaktív) kiértékelés Szelekció (jóság alapján) jóság arányos (rulett kerék) jóság sorrend szerint sportverseny Kényszerek GA-ban érvénytelen egyedek kizárása, javítása kényszerek a reprezentációban büntetőtag a célfüggvényben Többszempontú optimalizálás GA-val szempontok súlyozása a célfüggvényben alpopulációk szelekciója egyedi szempontok szerint, egyesítésük Pareto optimum GA elmélete Séma elv: átlagosnál jobb kromoszómarészletek előfordulásának valószínűsége (exponenciálisan) növekszik a generációk folyamán Tipikus GA tervezési problémák 1. Koncepcionális tervezés tervezés korai szakasza pontos módszertan nem létezik tervvariánsok összehasonlítása 2.

Alakoptimalizálás parametrikus Ga geometriai tervezési adatok (skalár, vektor, mátrix) cella GA cellamodell topológiai és geometriai optimalizálás 3. Adatillesztés magas dimenziók igen zajos adatok 4. Rekonstrukció (Reverse engineereing) regisztráció optimális háromszőgelés 5. Mechanizmusok tervezése mechanizmus paraméterek adott mozgáspályához (>5 pont) hibaminimalizálás kényszerekkel 6. Robotpálya tervezés pozíciók + akadályok robotmozgás inverz kinematika kényszerekkel